Tenglamalar sistemasi uchun iteratsiya (ketma-ket yakinlashish) usuli

Tenglamalar sistemasi uchun iteratsiya

(ketma-ket yakinlashish) usuli.

Aniq yechimni beruvchi Gauss usuli noma’lumlar soni ko’p bo’lgani bu usul bilan yechish murakkablashadi. Bunday hollarda tenglamalar sistemasini iteratsiya (ketma-ket yaqinlashish) usuli bilan yechish amaliy jihatdan foydali. Biz bu usulni chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga tadbiq qilishni ko’rsatamiz. Bizga chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.

(1)

(1) sistemani matritsa ko’rinishida yozamiz:

, , ,

bular yordamida (1) tenglamalar sistemasini quyidagi matritsali tenglamalar ko’rinishida yozish mumkin:

(1*)

A matritsaning dioganal koeffitsientlari . (1) sistemaning birinchi tenglamasini ga nisbatan yechsak, ikkinchi tenglamasini nisbatan yechsak va x.k. U holda (1) sistemaga teng kuchli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

(2)

bu erda

(2) sistema o’rniga matritsali tenglama hosil bo’ladi.

(2*)

Bu usul odatda Yakobi metodi deyiladi. Albatta bu usulni qo’llash uchun barcha lar noldan farqli bo’lishi kerak. Bundan tashqari diagonal elementlarning moduli boshqa elementlar modullari yig’indisidan katta bo’lishi kerak. Yani quyidagi tengsizliklarning birortasi bajarilishi kerak.

.

(2) sistemani ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechamiz. Nolinchi yaqinlashish sifatida vektor ustunni olamiz. (2*) foydalanib

birinchi yaiqnlashishni hosil qilamiz. Bundan foydalanib

hosil qilamiz. Shu tartibda - yaqinlashishni hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:

(3)

Agar yaqinlashish qatori limiti, ya’ni

,

bu limit (2) sistemaning yechimidir. Haqiqatan ham (3) dan limit olsak,

yoki

limitik vektor X (2*) – sistemaning yechimidir. Huddi shunday (1) ning ham yechimidir. (3) quyidagicha yozamiz.

(3*)

Ayrim hollarda (1) sistemani (2) sistemaga keltirishda bo’lishi mumkin.

Masalan: tenglamaga iteratsiya usulini qo’llashda shaklda yozish mumkin. Bundan keyin bo’lishi shart emas. (3) va (3*) formulalar ildizni aniqlovchi usul, oddiy iteratsiya usuli deb aytiladi.
TOPSHIRIQLAR

1. A= , B= ,

2. A= , B= ,

3. A= , B= ,

4. A= , B= ,

5. A= , B= ,

6. A= , B= ,

7. A= , B= ,

8. A= , B= ,

9. A= , B= ,

10. A= , B= ,

11. A= , B= ,

12. A= , B= ,

13. A= , B= ,

14. A= , B= ,

15. A= , B= ,

16. A= , B= ,

17. A= , B= ,

18. A= , B= ,

19. A= , B= ,

20. A= , B= ,

21. A= , B= ,

22. A= , B= ,

23. A= , B= ,

24. A= , B= ,

25. A= , B= ,

ZEYDEL USULI.

Zeydel usuli oddiy iteratsiya usulining bir ko’rinishidir. Bu usul asosiy g’oyasi shundan iboratki, - yaqinlashishda qiymatini hisoblashda oldin ma’lum bo’lgan yaqinlashishdagi qiymatlari qo’llaniladi.

Tenglamalar sistemasi normal ko’rinishga keltirilgan bo’lsin, ya’ni

Boshlang’ich yaqinlashishda larni olamiz. - yaqinlashish ma’lum bo’lsa, yaqinlashish quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi.

Iteratsiya jarayoni shart bajarilguncha davom qildiriladi.

Sistema Zeydel usuli bilan yechilganda oddiy iteratsiya usulidagiga nisbatan tezroq natijaga erishiladi.
1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

13. 17.

14. 18.

15. 19.

16. 20.