Tərs matris. Xts-nin həlli üsulları. Vektorların bazis üzrə ayrılışı



Yüklə 49,86 Kb.
tarix30.10.2022
ölçüsü49,86 Kb.
#66832
Tərs matris. XTS-nin həlli üsulları. Vektorların bazis üzrə ayrılışı


Tərs matris. XTS-nin həlli üsulları. Vektorların bazis üzrə ayrılışı
Tutaq ki, m n natural ədədlərdir. mn sayda ədəddən düzbucaqlı şəklində düzəldirmiş , m sayda sətri və n sayda sütunu olan cədvələ (m · n) – ölçülü matris deilir. Matrisi
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
. . . . .
am1 am2 ..amn
və ya
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
- - - - - - - - - -
am1 am2 ..amn
şəklində yazırlar. Bəzən qısa olmaq üçün matrisi böyük hərflə (A, B, C, X, Y, ...), və ya ai j(i=1,2, ... n) şəklində işarə edirlər.
Matrisi təşkil edən ai j ədədlərinə onun elementləri deyilir. Elementin aşaqısında yazılan iki (ij) indeksin birincisi (i) onun yerləşdiyi sətrin nömrəsini, ikincisi (j) isə yerləşdiyi sütunun nömrəsini göstərir.
(m · n) ölçülü (1) matrisinin sətir və sütunlarının sayı bərabər (m=n) olduqda, ona kvadrat matris deilir. Bu halda n ədədinə kvadrat matrisin tərtibi deyilir. Məsələn
0 1 3
A = 3 5 B = 2 4 7
7 8 0 3 4
matrislərinin birincisi iki, ikincisi isə üçtərtiblidir. Bir elementdən ibarət olan matrisə birtərtibli matris deyilir. Birtərtibli matrisi onu təşkil edən yeganə ədədlə eyniləşdirirlər: a11║= a11.
Ancaq bir sətri olan matrisə sətir-matris, ancaq bir sütunu olan matrisə sütun-matris deyilir. Məsələn,
A = 2, 7, 8, 9 B = a, b, c
matrisləri sətir-matrislər,
0 a1
C = 2 , D = b1
1 c1
4 d1
matrisləri isə sütun-matrislərdir.
n-tərtibli kvadrat
a11 a12 ... a1n
A = a21 a22 ... a2n
. . . . .
am1 am2 ..amn
matrisinin sol yuxarı küncündə olan a11 elementi ilə sağ aşağı küncündə olan amn elementini birləşdirən düz xətt parçası üzərində yerləşən a11, a22, a33, ..., anm elementləri çoxluğu həmin matrisin baş diaqonalı adlanır. Ancaq baş diaqonalının elementləri sıfırdan fərgli olan kvadrat matrisə diaqonal matris deilir. Bütün elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris vahid matris adlanır və In ilə işarə olunur. Birtərtibli vahid matris

ikitərtibli vahid matris

Üçtərtibli vahid matris və s. olar.
Tutaq ki, A hər hansı tərtibli kvadrat matris və I həmin tərtibli vahid matrisidir. Bu halda
A-1-A=AA-1=I (1)
bərabərliyini ödəyən A-1 matrisinin A matrisinin tərsi deyilir. (1) bərabərliyi göstərir ki, A-1 matrisi A matrisinin tərsidirsə, onda A matrisi də A-1 matrisinin tərsidir:
(A-1) -1=A (2)
yəni AA-1 matrisləri qarşılıqlı tərs matrislərdir.
A matrisinin tərsi varsa, bu ancaq yeganə ola bilər. Doğrudan da, A matrisinin A-11 A-12 kimi iki tərs matris olarsa, onda
A(A-11 - A-12)=I - I=0.
Bu bərabərliyin hər iki tərəfini soldan A-11 matrisinə vursaq:
A-11 A(A-11 - A-12)=I(A-11 - A-12)= A-11 - A-12=0
və yaxud
A-11 = A-12
A matrisinin determinantı ∆(A) olsun. ∆(I)=1 olduğundan (1) bərabərliyinə əsasən
(AA-1)= ∆(A)· ∆(A-1)=1
və yaxud
(A)· ∆(A-1)=1, ∆(A-1) = (3)
münasibəti doğrudur. Buradan aydındır ki, verilmiş A matrisinin A-1 tərsi olması üçün ∆(A) 0 olmalıdır. Bu təklifin tərsi də doğrudur. Deməli, verilmiş A matrisinin tərs A-1 matrisi olması üçün onun ∆(A) determinantının sıfırdan fərgli olması zəruri və kafi şərtdir.
Determinantı sıfra bərabər, yəni ∆(A) 0 olan kvadrat A matrisinə cırlaşmış (və ya məxsusi) matris deyilir. Determinantı sıfra bərabər olmayan kvadrat A matrisinə isə cırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir. Dediklərimizdən aydındır ki, cırlaşmamış matrisin tərsi vardır.
Tutaq ki, ikitərtibli cırlaşmamış
A2 = a11 a12
a21 a22
matrisi verilmişdir. Bu matrisin tərsi:
A-12 = və ya A-12=
Bunun doğruluğuna inanmaq üçün A2 A-12=I olduğunu yoxlamaq kifayətdir.
Indi üçtərtibli cırlaşmamış (∆(A3) 0)
a11 a12 a13
A3 = a21 a22 a23 (4)
a31 a32 a33
matrisini götürək. Bu matrisin tərsi:
A-13 = (5)
Doğrudan da, burada Ai k ilə ai k elementinin cəbri tamamlayıcısı işarə olunduğunu və determinantların xassəssini nəzərə alsaq:
A-13 A3 =
və yaxud tələb olunan


A-13 A3 = = I3
bərabərliyini alırıq.


Yüklə 49,86 Kb.

Dostları ilə paylaş:




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin