Учебное пособие по курсу «Интеллектуальные системы управления»

1.5. Операции над нечеткими множествами 
Операции  над  нечеткими  множествами  такие,  например,  как  объе-
динение и пересечение можно определить различными способами. Выбор 
конкретного  из  них  зависит  от  специфики  решаемой  задачи,  т.е.  от  кон-
кретного смысла, вкладываемого в эти операции.  
            Рис. 1.13
    
         Рис. 1.14 

 
25
Объединением  нечетких  множеств  А,  В  и U называют  нечеткое 
множество вида 
( )
( )
(
)
∫
µ
∨
µ
=
U
B
A
x
x
x
B
A U
,                              (1.3)
 
где 
( )
( )
(
)
( ) ( )
{
}
U
x
,
x
,
x
max
x
x
B
A
B
A
∈
µ
µ
=
µ
∨
µ
. 
Знак интеграла здесь и для всех последующих операций обозначает 
их выполнение над всеми элементами множеств А и В. 
Графическая  интерпретация  операции  объединения  приведена  на 
рис. 1.15. 
 
 
 
 
 
 
                      Рис. 1.15                                                   Рис. 1.16 
 
Пересечением  нечетких  множеств  А  и  В  из U называют  нечеткое 
множество вида (рис.1.16) 
 
( )
( )
(
)
∫
µ
∧
µ
=
U
B
A
x
x
x
B
A I
,                               (1.4) 
где 
( )
( )
(
)
( ) ( )
{
}
U
x
   
,
x
,
x
min
x
x
B
A
B
A
∈
µ
µ
=
µ
∧
µ
.   
 
 
  
Дополнением или отрицанием нечеткого множества А называют не-
четкое множество вида (рис. 1.17) 
 
( )
(
)
U
x
,
x
x
1
A
U
A
∈
µ
−
=
∫
.                               (1.5) 
Концентрирование нечеткого множества А из U, определяют в виде 
(рис. 1.18) 
( )
( )
(
)
U
x
,
x
x
A
CON
U
2
A
∈
µ
=
∫
. 
    
(1.6) 
 
( )
x
µ
Рис. 1.17 
Рис. 1.18 
( )
x
µ
 

 
26 
Растяжение  нечеткого  множества  А  из U, определяют  в  виде  (рис. 
1.19) 
( )
( )
(
)
U
x
  
,
x
x
A
DIL
U
5
.
0
A
∈
µ
=
∫
.                                         
(1.7) 
Множеством уровня 
α нечеткого множества (α-срезом) А называют 
нечеткое  множество,  составленное  из  элементов 
U
x
∈ ,  степень  принад-
лежности которых нечеткому множеству А не меньше 
α (рис. 1.20) 
[ ]
( )
{
}
α
≥
µ
∈
=
∈
α
∀
α
x
,
U
x
x
A
    
,
1
,
0
A
. 
 
 
Строгое множество уровня определяется как 
[ ]
( )
{
}
α
>
µ
∈
=
∈
α
∀
−
α
x
,
U
x
x
A
,
1
,
0
A
. 
Тогда функцию принадлежности можно определить для произволь-
ного нечеткого множества А с помощью его 
α-сечения в виде 
( )
[ ]
( )
(
)
x
,
min
 
sup
x
A
1
,
0
A
α
∈
α
µ
α
=
µ
, 
где 
( )



∉
∈
=
.
A
x
  
если
    
0,
,
A
  x
если
    
1,
x
µ
α
α
Aα
  
Нечеткое множество уровня 
α нечеткого множества А определяется 
следующим образом: 
)
),
(
 ,
(
~
x
α
α
∈
µ
=
A
x
x
x
A
.
 
Преимуществом такого определения является то, что в прикладных 
задачах  целесообразно  использовать  не  сами  нечеткие  множества,  а  их 
множества  уровня,  что  позволяет  экономить  время  вычислений  и  память 
ЭВМ. 
Пусть А и В – произвольные нечеткие множества из U. Говорят, что 
А включает в себя В 
(
)
A
B
⊆
, если  
( )
( )
x
µ
x
µ
 
U,
x
A
B
≤
∈
∀
. 
Рис. 1.19 
Рис. 1.20 

 
27
Когда последнее неравенство строгое, тогда говорят, что включение 
строгое. Очевидно, что А=В, если 
(
)
B
A
⊆
, 
(
)
A
B
⊆
. 
Если функции принадлежности двух нечетких множеств А и В из U 
равны, то А и В – равные нечеткие множества, т.е. если  
( )
( )
U
x
    
,
x
x
A
B
∈
∀
µ
=
µ
, то А=В. 
Нетрудно  убедиться,  что  введенные  операции  над  нечеткими  мно-
жествами являются более общими, чем аналогичные операции над обыч-
ными множествами.  
Известно  определение  функции  принадлежности  объединения  не-
четких множеств через их алгебраическую сумму 
( )
( )
( )
( )
( )



µ
+
µ
≥
µ
+
µ
=
µ
,
случае
  
противном
  
в
  
x
x
,
1
x
x
    
при
  
1
X
B
A
B
A
B
AU
  
а  функции  принадлежности  пересечения  нечетких  множеств  через  алгеб-
раическое произведение 
( )
( ) ( )
U
x
  
,
x
x
x
B
A
B
A
∈
∀
µ
µ
=
µ
I
. 
Нечеткие  подмножества  некоторого  универсального  множества  от-
носительно  операций  объединения,  пересечения  и  дополнения,  опреде-
ленных  соотношениями (1.3) – (1.6) удовлетворяют  следующим  свойст-
вам:  
1. Идемпотентность: 
0
A
A
A
A
≠
= I
U
  при 
0
A
≠ .  Отметим,  что 
нечеткое подмножество универсального множества U называется пустым 
при условии 
U
x
  
для
  
0
)
x
(
0
∈
∀
=
µ
. 
2. Коммутативность: A
B
B
A
   
,
A
B
B
A
I
I
U
U
=
=
.  
Данные  свойства  с  очевидностью  вытекают  из  приведенных  выше 
определений операций над нечеткими множествами. 
3. Ассоциативность:
(
)
(
) (
)
(
)
C
B
A
C
B
A
  
,
C
B
A
C
B
A
I
I
I
I
U
U
U
U
=
=
. 
4. Дистрибутивность:  
             
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
C
A
B
A
C
B
A
    
,
C
A
B
A
C
B
A
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
=
=
. 
5. Поглощаемость: 
(
)
A
A
B
A
=
I
U
.  Это  свойство  можно  записать          
в другой форме, а именно  
 
(
)
(
)
A
B
A
A
,
min
,
max
µ
=
µ
µ
µ
. 
6. Единственность обратного: 
( )
A
A
= . 
7. Правила Моргана: 
(
)
(
)
.
B
A
B
A
,
B
A
B
A
U
I
I
U
=
=
 

 
28 
Перейдем  к  рассмотрению  следующих  операций  над  нечеткими 
множествами. 
Пусть А
1 
и А
2 
– нечеткие подмножества универсальных множеств U
1 
и  U
2 
соответственно.  Тогда  декартово  произведение  нечетких  подмно-
жеств А
1 
и А
2 
обозначается А
1
×А
2 
и определяется как нечеткое подмноже-
ство множества U. Последнее определяется декартовым произведением
 
2
1
U
U
U
×
=
. 
При  этом  функция  степеней  принадлежности  декартова  произведе-
ния А
1
×А
2 
определяется выражением 
 
(
)
( )
( )
{
}
2
2
1
1
2
A
1
A
2
1
A
A
U
x
   
,
U
x
   
,
x
 
x
min
x
,
x
2
1
2
1
∈
∈
µ
µ
=
µ
×
. 
Например,
 
пусть
 
имеем
 
универсальные
 
множества
 
U
1
=U
2
=(3,5,7)  и 
нечеткие подмножества А
1
=(0.5/3, 1/5, 0.6/7) и А
2
=(1/3, 0.6/5). 
В этом случае декартово произведение нечетких подмножеств А
1 
и А
2 
будет равно А
1
А
2 
={0.5/(3,3), 1/(5,3), 0.6/(7,3), 0.5/(3,5), 0.6/(5,5), 0.6/(7,5)}. 
Декартово произведение нечетких множеств тесно связано с поняти-
ем нечеткого отношения, которое будет рассмотрено ниже. 
В ряде приложений теории нечетких множеств требуется проводить 
их  сравнение.  Формализацией  сравнения  нечетких  подмножеств  А  и  В 
универсального  множества U с  конечным  числом  элементов  может  быть 
вычисление расстояния Хэмминга, которое определяется выражением  
(
)
( )
( )
∑
=
µ
−
µ
=
n
1
i
i
B
i
A
x
x
B
,
A
d
. 
Знак «
∑
» обозначает арифметическое сложение. 
Отметим, что 
( )
( )
( ) ( )
{
}
( ) ( )
{
}
(
)
n.
B
A,
d
0
,
x
µ
,
x
µ
min
x
µ
,
x
µ
max
x
µ
x
µ
i
B
i
A
i
B
i
A
i
B
i
A
≤
≤
−
=
−
  
Например, A=(0/0, 0.1/1, 0.2/2, 0.5/3, 0.8/4, 1/5), 
 B=(1/0, 1/1, 0.8/2, 0.6/3, 0.4/4, 0.2/5). 
Найдем расстояние Хэмминга 
 d(A,B)=/1-0/+/1-0.1/+/0.8-0.2/+/0.6-0.5/+/0.8-0.4/+/10.2/= 
=1+0.9+0.6+0.1+0.4+0.8=3.8. 
Кроме  линейных  форм  расстояние  между  нечеткими  подмножест-
вами рассматривают как квадратичные формы, а именно 
(
)
( )
( )
[
]
,
x
x
B
,
A
e
n
1
i
2
i
B
i
A
∑
=
µ
−
µ
=
 
для которых 
(
)
n
B
,
A
e
0
≤
≤
. 

 
29
1.6. Формализованное представление отношений 
Параметры различных систем могут быть связаны между собой раз-
личного рода отношениями. Выделение отношений осуществляется по за-
ранее выбранному признаку. Если нас интересует влияние параметра сис-
темы на ее производительность или качество выпускаемой продукции, то 
данная  связь  может  быть  описана  различного  вида  отношениями, “влия-
ет”, “ не  влияет”, “сильно  влияет”, “ слабо”  и  т.д.  Наиболее  распростра-
ненной  формой  задания  отношений  является  словесное  описание.  Обще-
принятая  формализация  отношений  осуществляется  в  соответствии  со 
следующим определением. 
Отношением R на множестве U называется подмножество R множе-
ства, определяемого декартовым произведением. 
Существует  несколько  форм  задания  отношений.  Задание  отноше-
ния R на  множестве U может  быть  выполнено  перечислением  всех  пар 
(
)
(
)
n
1,
j
i,
   
,
U
u
,
u
j
i
=
∈
, для которых выполняется отношение R. Кроме то-
го,  отношения  задаются  в  виде  матриц  и  графов.  Простейшими  отноше-
ниями  являются  такие,  для  которых  можно  четко  указать,  выполняются 
они или нет для параметров Х
1
 и Х
2.
 
В  тех  случаях,  когда  связи  между  параметрами  системы  выражены 
нечетко, целесообразно формализовать отношения в соответствии со сле-
дующим определением.  
Пусть U
1
 и U
2
 – универсальные множества. Если U является декар-
товым  произведением U=U
1
×U
2
,  то  нечеткое  отношение R определяется 
как нечеткое подмножество универсального множества U: 
 
[ ]
1
,
0
u
u
:
2
1
R
→
×
µ
. 
 
Значение 
(
)
j
i
R
u
,
u
µ
  для  конкретной  пары 
(
)
2
1
j
i
u
u
u
,
u
×
∈
 
характе-
ризует субъективную степень выполнения отношения 
j
i
u
R
~
u
.
 
Если множество U конечно и невелико, нечеткое отношение R удоб-
но задавать в матричном виде. В этом случае матрица 
( )
R
~
M
 отношения  R
~
 
представляет собой квадратную матрицу, строки и столбцы которой поме-
чены элементами 
U
u
∈ , и на пересечении строки u
i 
и столбца u
j 
записано 
значение
(
)
j
i
R
j
i
u
,
u
r
µ
=
. 

 
30 
 
П р и м е р .  Пусть U={1,3,5,7,9}. Определим на множестве U нечет-
кое отношение  R
~
 “намного больше”. Матрица такого отношения может 
иметь следующий вид: 
 
  1  3  5 7 9 
1 0  0  0 0 0 
3 0,2
0  0 0 0 
5 0,1
0  0 0 0 
7 0,8 0,4  0 0 0 
9 1  0,8 0,5 0 0 
 
Наглядностью обладает задание нечеткого отношения в виде нечет-
кого  графа
( )
V
~
,
U
~
G
~ =
,  где 
{
}
5
4
3
2
1
u
,
u
,
u
,
u
,
u
U
~ =
 – множество  вершин; 






>
µ
µ
=
0
u
,
u
(
,
)
u
,
u
(
)
u
,
u
(
V
~
j
i
R
j
i
j
i
R
 
(
)
U
u
,
u
j
i
∈
  (рис. 1.21) – множе-
ство  нечетких  дуг.  Очевидно,  что,  как  и  в  случае  нечетких  множеств, 
обычное четкое отношение можно рассматривать как частный случай не-
четкого  отношения,  функция  принадлежности  которого  принимает  два 
значения: 0 и 1.  
 
 
  
Дадим некоторые определения, характеризующие нечеткие отноше-
ния.  Носителем  нечеткого  отношения R на  множестве U называют  под-
множество декартова произведения U
×U вида 






>
µ
×
∈
=
0
u
,
u
(
,
U
U
)
u
,
u
(
)
u
,
u
(
R
~
Supp
j
i
R
j
i
j
i
. 
Рис. 1.21 

 
31
Носитель нечеткого отношения следует понимать как отношение на 
множестве U, связывающее все пары
(
)
j
i
u
,
u
, для которых степень выпол-
нения данного нечеткого отношения не равна нулю. 
Для нашего примера  
(u
3
,u
1
),(u
5
,u
1
),(u
7
,u
1
),(u
9
,u
1
),(u
5
,u
3
),(u
7
,u
3
),(u
9
,u
3
),(u
9
,u
5
). 
По  аналогии  с  нечеткими  множествами  определяется  и  множество 
α-уровня нечеткого отношения, т.е. 
(
)
(
)
(
)






α
≥
µ
×
∈
=
α
j
i
R
j
i
j
i
u
,
u
  
,
U
U
u
,
u
u
,
u
R
. 
Перейдем  к  рассмотрению  операций  над  нечеткими  отношениями, 
некоторые из которых являются аналогами операций над нечеткими мно-
жествами, а некоторые присущи только нечетким отношениям. 
Пересечением 
нечетких  отношений P и Q на  U
×U называют нечет-
кое отношение
Q
P I , определяемое функцией принадлежности  
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
{
}
j
i
Q
j
i
P
U
u
,
u
j
i
Q
j
i
P
j
i
Q
P
u
,
u
,
u
,
u
min
u
,
u
u
,
u
u
,
u
j
i
µ
µ
=
µ
∧
µ
=
µ
∈
I
. 
Объединением 
нечетких отношений P и Q на Х
×Х называют нечет-
кое бинарное отношение 
Q
P U , определяемое функцией принадлежности  
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
{
}
j
i
Q
j
i
P
j
i
Q
j
i
P
j
i
Q
P
x
,
x
µ
,
x
,
x
µ
max
x
,
x
µ
x
,
x
µ
x
,
x
µ
=
∨
=
U
. 
Дополнением 
нечеткого отношения 
X
X
R
×
⊆
 называют отношение 
R
 с функцией принадлежности  
(
)
(
)
X.
X
x
,
x
,
x
,
x
µ
1
x
,
x
µ
j
i
j
i
R
j
i
R
×
∈
∀
−
=
 
Обратным отношением 
к отношению R называют отношение R
-1 
с 
функцией принадлежности  
(
)
(
)
X.
X
x
,
x
,
x
,
x
µ
x
,
x
µ
j
i
j
i
R
j
i
R
1
×
∈
∀
=
−
 
Очевидно, что матрица М
-1
(R) является транспонированной М(R). 
Говорят, что отношение R
1
 включено в отношение R, если множест-
во  пар,  для  которых  выполняется  отношение  R
1
,  находится  в  множестве 
пар,  для  которых  выполняется  отношение R. Так,  например,  отношение 
между параметрами Z
1 
и  Z
2
, характеризуемое термином  “много меньше”, 

 
32 
включено  в  отношение,  характеризуемое  понятием  “меньше”.  Отметим, 
что обратное утверждение может не выполняться. Тот факт, что отноше-
ние R
1
 включено в отношение R, обозначают следующим образом: R
R
1
⊆ . 
На этапе формализации качественной информации важную роль иг-
рают отношения эквивалентности, порядка и доминирования. С помощью 
отношения  эквивалентности  могут  выделяться  классы  свойств  исследуе-
мых  объектов  или  систем,  которые  являются  в  некотором  смысле  равно-
ценными. Это отношение оказывается полезным для выявления в множе-
стве первичных терминов подмножества терминов-синонимов. 
Отношение  эквивалентности  обладает  свойствами  рефлективности, 
симметричности и транзитивности. Рефлективность отношения R обозна-
чает выполнение условия 
R
U
⊆ , U-диагональное отношение. Данное от-
ношение используется для формализации понятий типа “похоже на”, “по-
добен”  и  т.п.  На  главной  диагонали  матрицы  рефлексивного  отношения 
стоят единицы. В понятиях типа “похоже на”, “подобен” выделяют свой-
ства симметричности. 
Отношение R симметрично, если выполняется условие 
1
R
R
−
⊆
, т.е. 
если выполняется связь z
1 
Rz
2,
 то должно выполняться z
2 
Rz
1.
 
Транзитивность подразумевает то, что если параметры z
1 
и z
2 
связа-
ны отношением R, а также этим же отношением связаны z
2 
и z
3,
 то пара-
метры  z
1 
и  z
3 
связаны  этим  же  отношением.  Формально  данное  свойство 
записывается следующим образом: если z
1 
Rz
2 
и z
2 
Rz
3,
 то z
1 
Rz
3.
 
Наряду  с  рассмотренными  свойствами  отношений  выполняются 
свойства  антирефлексивности  и  асимметричности.  Первое  выполняется, 
если пересечение 
0
U
R
=
I
, а второе – при 
0
R
R
1
=
−
I
. По своему смы-
словому  содержанию  свойства  антирефлексивности  и  асимметричности 
противоположны рефлективности и симметричности соответственно.  
Отношение  доминирования  характеризуется  свойствами  антиреф-
лексивности и асимметричности. Это отношение используется для форма-
лизации связей между z
1 
и z
2 
в случаях, когда z
1 
превосходит или предпоч-
тительнее в некотором смысле z
2.
 
Частным  случаем  отношения  доминирования  является  отношение 
порядка, для которого дополнительно выполняется свойство транзитивно-
сти. Примером отношения порядка является понятие “ больше”.  

 
33
В  теории  нечетких  множеств  имеется  ряд  операций  над  нечеткими 
отношениями,  которые  не  имеют  аналогов  для  нечетких  множеств,  рас-
смотренных в п. 1.5. 
Максиминное  произведение  нечетких  отношений
  R
1 
и  R
2,
  которые 
определены  на  множестве U, обозначается 
2
1
R
R o
 
и  задается  функцией 
принадлежности 
(
)
2
1
R
R
u
,
u
2
1
o
µ
,вычисляемой следующим
 
образом: 
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
2
R
1
R
2
1
R
R
u
,
z
,
z
,
u
min
Sup
u
,
u
1
1
2
1
µ
µ
=
µ
o
, 
где 
µ
R1
, 
µ
R2 – 
функции принадлежности нечетких отношений R
1 
и R
2 
соот-
ветственно.  
Например, 
пусть 
заданы 
два 
универсальных 
множества 
U
1
=U
2
=(1,2,3). На множестве U
1 
×U
2 
определены нечеткие отношения 










=










=
0
3
.
0
7
.
0
3
.
0
0
3
.
0
7
.
0
3
.
0
0
R
;
1
8
.
0
4
.
0
8
.
0
1
8
.
0
4
.
0
8
.
0
1
R
2
1
. 
Так  как  нечеткие  отношения  заданы  в  матричном  виде,  то  макси-
минное произведение в данном случае представляет собой операцию, ана-
логичную  умножению  матриц,  но  вместо  арифметических  операций  ум-
ножения и сложения используют операции нахождения минимального (/\ – 
пересечение) и максимального (\/ – объединение) элементов соответствен-
но. Поэтому максиминное произведение имеет вид 










=
0.4
0.3
0.7
0.7
0.3
0.7
0.7
0.3
0.4
R
R
2
1
o
. 
Минимаксное произведение нечетких отношений
 R
1 
и R
2 
на множе-
стве U определяется функцией принадлежности, вычисляемой по соотно-
шению 
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
2
R
1
R
2
1
R
R
u
,
z
,
z
,
u
max
inf
u
,
u
1
1
2
1
µ
µ
=
µ
o
. 
Если  нечеткие  отношения  R
1 
и  R
2 
заданы  в  виде  матриц,  то  мини-
максное произведение представляет собой операцию, аналогичную опера-
ции умножения матриц, но вместо арифметических операций умножения 
и сложения используются операции /\ и \/.  

 
34 
Например, для предыдущего примера  минимаксное произведение  в 
матричном виде равно 










=
7
.
0
4
.
0
4
.
0
8
.
0
8
.
0
8
.
0
1
4
.
0
7
.
0
R
R
2
1
o
. 
Максимультипликативное  произведение  нечетких  отношений
  R
1 
и 
R
2
,
 
заданных на множестве U, определяется функцией принадлежности 
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
.
u
z,
µ
z
,
u
µ
Sup
u
,
u
µ
2
R
1
R
2
1
R
R
1
1
2
1
×
=
o
 
Для  исходных  данных  примера  максимультипликативное  произве-
дение нечетких отношений равно 










=
28
.
0
3
.
0
7
.
0
56
.
0
24
.
0
56
.
0
7
.
0
3
.
0
28
.
0
R
R
2
1
o
. 
Выбор  той  или  иной  композиции  при  решении  практических  задач 
определяется  требованиями,  которым  должно  удовлетворять  решение  за-
дачи. Поэтому в каждом конкретном случае данный вопрос требует особо-
го рассмотрения.