ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, } Va nolga teng bo'lgan tabiiy sonlar to'plami boshqa tarzda belgilanadi: ℕ+

To‘plamlar ustida amallar Matematikada juda xilma-xil to‘plamlarga duch kelamiz. Haqiqiy sonlar to‘plami, tekislikdagi ko‘pburchaklar to‘plami, ratsional koeffitsiyentli ko‘phadlar to‘plami va hokazo. To‘plam tushunchasi matematikada tayanch tushunchalardan bo‘lib, unga ta’rif berilmaydi. «To‘plam» so‘zining sinonimlari sifatida «ob’ektlar majmuasi» yoki «elementlar majmuasi» so‘z birikmalaridan  foydalaniladi. To‘plamlar nazariyasi hozirgi zamon matematikasida juda muhim o‘ringa ega. Biz uning ayrim xossalarini o‘rganish bilan cheklanamiz. To‘plamlarni lotin alifbosining bosh harflari A,B,L, ularning elementlarini esa kichik - a,b,L harflar bilan belgilaymiz. «a element A to‘plamga tegishli» iborasi «a∈ A» shaklda yoziladi. A a∈ / » yozuv esa a element A to‘plamga tegishli emasligini bildiradi. Agar A to‘plamning barcha elementlari B to‘plamning ham elementlari bo‘lsa, u holda A to‘plam B to‘plamning qismi deb ataladi va A ⊂ B ko‘rinishda yoziladi. Masalan, natural sonlar to‘plami haqiqiy  sonlar to‘plamining qismi bo‘ladi. Agar A va B to‘plamlar bir xil elementlardan tashkil topgan bo‘lsa, u holda ular teng to‘plamlar deyiladi va A = B shaklda belgilanadi. Ko‘pincha, to‘plamlarning tengligini isbotlashda A ⊂ B va B ⊂ A munosabatlarning bajarilishi ko‘rsatiladi.

 Ba’zida birorta ham elementi mavjud bo‘lmagan to‘plamlarni qarashga to‘g‘ri keladi. Masalan, x2 +1= 0 tenglamaning haqiqiy yechimlari to‘plami, 2 ≤ x < 2 qo‘sh tengsizlikni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar to‘plami va hokazo. Bunday to‘plamlar uchun maxsus «bo‘sh to‘plam» nomi berilgan va uni belgalashda Ш simvoldan foydalaniladi.

 Ba’zida birorta ham elementi mavjud bo‘lmagan to‘plamlarni qarashga to‘g‘ri keladi. Masalan, x2 +1= 0 tenglamaning haqiqiy yechimlari to‘plami, 2 ≤ x < 2 qo‘sh tengsizlikni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar to‘plami va hokazo. Bunday to‘plamlar uchun maxsus «bo‘sh to‘plam» nomi berilgan va uni belgalashda Ш simvoldan foydalaniladi.

Ma’lumki, har qanday to‘plam bo‘sh to‘plamni o‘zida saqlaydi va har qanday to‘plam o‘zining qismi sifatida qaralishi mumkin. To‘plamlarning bo‘sh to‘plamdan va o‘zidan farqli barcha qism to‘plamlari xos qism to‘plamlar deb ataladi. To‘plamlar ustida amallar. Ixtiyoriy tabiatli A va B to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar C to‘plam faqatgina A va B to‘plamlarning elementlaridan iborat bo‘lsa, u holda C to‘plam A va B to‘plamlarning yig‘indisi yoki birlashmasi deyiladi va C = AU B shaklda belgilanadi. Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi Aa to‘plamlarning yig‘indisi ham shunga o‘xshash aniqlanadi: Aa to‘plamlarning kamida biriga tegishli bo‘lgan barcha elementlar to‘plami bu to‘plamlarning yig‘indisi deyiladi va bu munosabat a − a U A shaklda belgilanadi.