§. eseli integrallar
Yüklə 300 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 2-anıqlama.
- 4-anıqlama.
- Eki eseli integraldıń qáseytleri.
- Orta mánis haqqında teoremalar.
|
296 17-§. ESELI INTEGRALLAR 17.1. Eki eseli integral. Eseli integrallardı esaplaw Funkciyanıń integral hám Darbu qosındıları. Meyli tekislikte maydanǵa iye bolǵan
D figura (kóplik) berilgen bolsın. Bul kóplikte ) ,
x f funkciya anıqlanǵan hám shegaralanǵan.
nıń bazı bir
D D D P ...
, 2 1
бœлакланиши hám hár bir k D da qálegen k k k D ) , ( noqatın ) ,....
2 , 1 ( n k alıp tómendegi
k k k k D f 1 , qosındını dúzemiz. 1-anıqlama .
k k k k D f 1 , qosındı
) , ( y x f funkciyanıń integral qosındısı (Riman qosındısı) delinedi. Keltirilgen anıqlamadan integral qosındı ) ,
x f funkciyaǵa, D kóplik hám onı bólekleniwge usılına hám hár bir
) , ( noqatlarǵa baylanıslı boladı:
, k k p f Meyli
) , ( y x f funkciya D da shegaralanǵan ekan, ol hár bir k D da
) ,...,
2 , 1 ( n k shegaralanǵan boladı. Demek,
k D y x y x f m ) , ( : ) , ( inf
, k k D y x y x f M ) , ( : ) , ( sup
bar boladı. k D y x ) , ( ushın k k M y x f m ) , ( (1) teńsizlikler orınlı boladı. 2-anıqlama. Qosındılar
n k k k D m s 1 , n k k k D M S 1 sáykes túrde Darbunıń tómengi hám joqarı qosındıları delinedi. 297 Funkciyanıń Darbu qosındıları ) ,
x f funkciyaǵa, D kóplik hám onıń bólekleniwge baylanıslı ) ( f s s p , ) ( f S S p bolıp, hár dayım S s teńsizlik orınlı boladı. (1) teńsizlikten paydalanıp
k k k n k k k k n k k k D M D f D m 1 1 1 , . Demek,
.
Eger 0
san alǵanda hám sonday 0 san tabılıp, D nıń
diametri p bolǵan hár qanday P bólekleniwge, hám hár bir k D da alınǵan qálegen ) , ( k k lar ushın J
teńsizlik orınlı bolsa, onda J san
qosındınıń 0
daǵı limiti delinedi hám J p 0 lim
arqalı belginedi. 4-anıqlama. Eger
0
да
) , ( y x f funkciyanıń integral qosındısı limiti bar boladı hám shekli
ǵa teń bolsa, onda ) ,
x f funkciya D da integrallanıwshı delinedi.
sanı bolsa, onda ) ,
y x f funkciyanıń D boyınsha eki eseli integralı delinedi. Onı tómendegishe
dxdy y x f ) , (
belginedi. Demek, n k k k k D D f dxdy y x f p p 1 0 0 ) , ( lim
lim ) , ( . Meyli maydanǵa iye bolǵan D kóplikte ) , ( y x f funkciya berilgen hám shegaralanǵan bolsın.
. )
, ( y x f funkciya D kóplikда integrallanıwshı bolıwı ushın, 0
san alǵanda hám, sonday 0
sanı tabılıp, D nıń diametri
p bolǵan
hár qanday P bólekleniwge qarata Darbu qosındıları 298 ) ( ) (
s f S p p
(2) teńsizliktiń orınlanıwı zárúrli hám jetkilikli. Eki eseli integraldıń qáseytleri.
1) Meyli ) , ( y x f funkciya D kóplikte integrallanıwshı bolsın. Eger D nol
maydanlı l sızıq penen ulıwma ishki noqatǵa iye bolmaǵan baylamlı 1
hám 2
kópliklerge ajralǵan bolsa, onda ) ,
x f funkciya hár bir 1
hám
2 D larǵa
integrallanıwshı hám 1 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( D D D dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f
(2) boladı. Keriside orınlı, yaǵniy ) , ( y x f funkciyanıń hár bir 1
hám
2 D kópliklerde integrallanıwshı bolsa, onda
da integrallanıwshı bolıp (2) teńlik orınlı boladı. 2) Eger ) , ( y x f funkciya D da integrallanıwshı bolsa, onda ) ,
x cf
funkciya ) ( const c hám D da integrallanıwshı hám
D D dxdy y x f c dxdy y x cf ) , ( ) , (
boladı. 3) Eger ) , ( y x f hám
) , ( y x g funkciyalar D integrallanıwshı bolsa, onda ) ,
) , ( y x g y x f funkciya hám D integrallanıwshı hám
D D D dxdy y x g dxdy y x f dxdy y x g y x f ) , ( ) , ( )] , ( ) , ( [
boladı. 4) Eger
) , ( y x f funkciya D integrallanıwshı bolıp
, да 0 ) , ( y x f bolsa, onda 0 )
( D dxdy y x f
boladı. 5) Eger ) , ( y x f hám
) , ( y x g funkciyalar D da integrallanıwshı bolıp,
, ushın ) , ( ) , ( y x g y x f bolsa, onda D D dxdy y x g dxdy y x f ) , ( ) , (
299 boladı.
6) Eger ) , ( y x f funkciya D integrallanıwshı bolsa, onda ) ,
x f funkciya hám
da integrallanıwshı hám
D D dxdy y x f dxdy y x f ) , ( ) , (
boladı. Orta mánis haqqında teoremalar. Meyli
) , ( y x f funkciya maydanǵa iye bolǵan D kóplikte berilgen hám shegaralanǵan bolsın.
Eger
) , ( y x f funkciya D integrallanıwshı bolsa, onda san
) (
m tabılıp,
D dxdy y x f ) , (
boladı. ◄ Joqarıда keltirilgen eki eseli integraldıń qáseytlerinen paydalanıp
dxdy y x f dxdy y x f D M y x f m D D ) , ( ) , ( 1 ,
) ( M m . ►
Saldar. Eger
) , ( y x f funkciya baylamlı tuyıq D kóplikte úzliksiz bolsa, onda sonday
) , ( noqat tabılıp, D f dxdy y x f D ) , ( ) , ( boladı. 4-teorema. Eger
) , ( y x f hám
) , ( y x g funkciyalar D kóplikte integrallanıwshı bolıp,
D y x , ushın 0 ) , (
x g (yamasa 0 )
(
x g ) bolsa, onda
) (
m tabılıp,
D D dxdy y x g dxdy y x g y x f ) , ( ) , ( ) , (
boladı. 300 Eki eseli integrallardı esaplaw Meyli )
, ( y x f funkciya tekislikte :
, ( 2 R y x D
y c b x a , kóplikte berilgen bolsın. Bul ) ,
x f funkciyanıń D boyınsha eki eseli integraldı esaplaw máselesin qaraymız.
. )
, ( y x f funkciya tómendegi shártleri orınlı bolsın 1) ) ,
x f funkciya D integrallanıwshı, 2) Hár bir ] , [ b a x da
a dy y x f x J ) , ( ) ( integral bar boladı. Onda ) (x J funkciya ] ,
a integrallanıwshı, yaǵniy
b a d c b a ]dx f(x,y)dy dx x J [ ) (
bar boladı hám b a d c D dx dy y x f dxdy y x f ] ) , ( [ ) , ( boladı.
2-teorema . )
, ( y x f funkciya tómendegi shártler orınlı bolsın 1) ) ,
x f funkciya D integrallanıwshı, 2) hár bir ] , [ d c y
a dx y x f y J ) , ( ) ( integral bar boladı. Onda ) ( y J funkciya ] ,
c да integrallanıwshı, yaǵniy
d c b a d с dy dx y x f dy y J ] ) , ( [ ) (
bar boladı hám
c b a D dy dx y x f dxdy y x f ] ) , ( [ ) , ( boladı. Yüklə 300 Kb. Dostları ilə paylaş:
|