§. eseli integrallar

1-saldar. 

)

,

( y

x

f

 tómendegi shártler orınlı bolsın: 

 

301

1) )

,

( y

x

f

 funkciya  D  да integrallanıwshı,  

2) Hár bir 

]

,

[ b

a

x



, 



d

c

dy

y

x

f

)

,

(

integral bar boladı.  

3) Hár bir 

]

,

[ d

c

y



, 



b

a

dx

y

x

f

)

,

(

 integral bar boladı. 

Onda 

 

b

a

d

c

dx

dy

y

x

f

]

)

,

(

[

 

,     

 

d

c

b

a

dy

dx

y

x

f

]

)

,

(

[

 

integrallar bar bolıp hám 

 

 

 







d

c

b

a

b

a

d

c

D

dy

dx

y

x

f

dx

dy

y

x

f

dx

y

x

f

]

)

,

(

[

]

)

,

(

[

)

,

(

 

boladı. 

2-saldar

. Eger 

)

,

( y

x

f

 funkciya  D  úzliksiz bolsa, onda 



D

dxdy

y

x

f

,

)

,

(

 

 

b

a

d

c

dx

dy

y

x

f

]

)

,

(

[

, 

 

d

c

b

a

dy

dx

y

x

f

]

)

,

(

[

 

integrallar bar bolıp hám olar bir–birine teń boladı. 

 

1-mısal.

 



D

ydxdy

x

2

 integraldı esaplań, bunda  





3

1

,

5

2

:

)

,

(

2













y

x

R

y

x

D

. 

◄ 

y

x

y

x

f

2

)

,

(



 funkciya ushın 1–hám 2–teoremalardıń shártleri orınlanadı. 

Olarдан paydalanıp  

 























3

1

5

2

3

1

3

1

2

3

1

5

2

3

2

2

156

)

2

(

3

117

)

8

125

(

3

1

)

3

(

]

[

y

dy

y

y

dy

y

x

dy

ydx

x

ydxdy

x

x

x

D

. 

Sonday-aq, 

 























5

2

3

1

5

2

5

2

3

5

2

2

2

3

1

2

2

2

2

156

)

3

(

4

)

9

(

2

1

)

2

(

]

[

x

dx

x

x

dx

y

x

dx

ydy

x

ydxdy

x

y

y

D

 

boladı. ►  

Meyli )

,

( y

x

f

 tekislikte  





)

(

)

(

,

:

)

,

(

2

1

2

1

x

y

x

b

x

a

R

y

x

D

















 

 

302

kóplikte berilgen bolsın, bunda 

)

(

),

(

2

1

x

x





 funkciyalar 

]

,

[ b

a

  úzliksiz hám 

)

,

( b

a

x





 da 

)

(

)

(

2

1

x

x







. 

 

34-sızılma 

3-teorema

. )

,

( y

x

f

 funkciya tómendegi shártler orınlı bolsın,  

1) )

,

( y

x

f

 funkciya  D  да integrallanıwshı,  

2) Hár bir 

]

,

[ b

a

x



, 



)

(

)

(

2

1

)

,

(

x

x

dy

y

x

f





 integral bar boladı.  

Onda 

 

b

a

x

x

dx

dy

y

x

f

]

)

,

(

[

)

(

)

(

2

1





 

bar bolıp hám  

 





b

a

x

x

D

dx

dy

y

x

f

dxdy

y

x

f

]

)

,

(

[

)

,

(

)

(

)

(

2

1

1





 

boladı.  

Meyli 





y

x

f ,

 funkciya tekisliktegi 





 

 





d

y

c

y

x

y

R

y

x

D













,

:

,

2

1

2

2





 

да berilgen bolsın, 

 

y

1



 hám 

 

y

2



 funkciyalar 

 

d

c,

  да úzliksiz hám 





d

c

y

,





 да 

 

 

y

y

2

1







. 

4-teorema.

 





y

x

f ,

 funkciya tómendegi shártler orınlı, 

1) 





y

x

f ,

 funkciya 

2

D  да integrallanıwshı, 

1

D

)

(

2

x



)

(

1

x



Y

 

d

 

c

 

0

 

a

 

b

X

 

303

2) hár bir  

 

d

c

y

,



  





 

 



y

y

dx

y

x

f

2

1

,





 

integral bar bolıp. Onda 





 

 

dy

dx

y

x

f

d

c

y

y

 













2

1

,





 

bar boladı hám 









 

 

dy

dx

y

x

f

dxdy

y

x

f

d

c

y

y

D

 

















2

1

2

,

,





 

boladı. 

2-mısal.

 







D

dxdy

y

x

J

 integraldı esaplań, bunda 

D

 kópligi 

0



x

, 0



y

, 1



 y

x

 

sızıqlar penen shegaralanǵan kóplik. 

◄ 

Bul sızıqlar penen shegaralanǵan kóplik 35-sızılmada keltirilgen 

 

 

35-sızılma 





y

x

y

x

f





,

 funkciya hám  D  kóplik 3-teoremanıń shártleri orınlanadı. 

Endi 









x

y

x

R

y

x

D















1

0

,

1

0

:

,

2

 





































































 



1

0

2

3

1

0

2

3

1

0

1

0

1

3

2

0

1

3

2

dx

x

dx

y

x

y

y

x

dx

dy

y

x

J

x

 

y

1

1

0

 

x

1



 y

x

 

 

304

5

2

5

2

1

3

2

0

1

5

2

3

2

2

5













 



















x

x

. ► 

 

17.2. Eki eseli integrallarda ózgeriwshilerdi almastırıw 

 

Meyli tekislikte  XOY  dekart koordinatalar sistemasına qarata shegaralanǵan 

D  kóplik, uov  dekart koordinatalar sistemasına qarata bolsa shegaralanǵan 



 

kóplik berilgen bolıp, olardıń shegaraları  D

  hám  

  lar siypaq tuyıq sızıqlardan 

ibarat bolsın. (38-sızılma) 

 

38-sızılma 

 Meyli  











)

,

(

,

)

,

(

v

u

y

v

u

x





  

 

 

 

 

(1) 

sistema 

  nı  D  sáwlelendirsin. Bul sáwlelendiriw tómendegi shártler orınlı bolsın 

1)  Bul óz-ara bir mánisli sáwlelendiriw, 

2) 

)

,

( v

u



 hám 

)

,

( v

u



 funkciyalar 



 kóplikte úzliksiz hám úzliksiz barlıq 

dara tuwındılarǵa iye, 

3)  Dara tuwındılardan dúzilgen 

v

y

u

y

v

x

u

x

v

u

J



















)

,

(

 

v 

u 

Y

D

  

0 0 

X 

 

305

funkcional determinant 

  da belgisin saqlasın hám 







)

,

( v

u

 da 

0

)

,

(



v

u

J

 

bolsın. )

,

( v

u

J

 determinant (1) sistemanıń yakobianı delinedi. (1) sáwlelendiriwge 

keri  











)

,

(

,

)

,

(

y

x

v

y

x

u





 

sáwlelendiriw bar boladı hám ol  D  nı    ǵa bir mánisli sáwlelendiredi.  

D  kópliktıń maydanı  







dudv

v

u

J

D

)

,

(



 

boladı. Eki eseli integrallarda ózgeriwshilerdi almastırıw 









dudv

v

u

J

v

u

v

u

f

y

x

f

D

)

,

(

))

,

(

),

,

(

(

)

,

(





  

    (5) 

formulası kelip shıǵadı.  

1-mısal.

 



D

dxdy

y

3

integralın esaplań, 

D  kóplik 

2

x

y



, 

2

2

x

y



,

1



xy

 , 

2



xy

 

sızıqlar penen shegaralanǵan.  

◄ 

Berilgen sızıqlar penen shegaralanǵan  D  39-sızılmada kórsetilgen  

 

39-sızılma 

 

 

 

2

2

x

y



2

x

y



2



xy

 

1



xy

0

 

y

 

x

 

 

306

Meyli  













xy

v

x

y

u

2

   





0



x

 

 

    (6) 

sáwlelendiriwde 

_

D  nıń obrazı 





2

1

,

2

1

:

)

,

(

2















v

u

R

v

u

  

(5) sáwlelendiriw óz-ara bir mánisli sáwlelendiriw bolıp, oǵan keri sáwlelendiriw  

















3

2

3

1

3

1

3

1

,

v

u

y

v

u

x

  

 

 

 

 

 

(6’) 

boladı. (6) sistemanıń yakobianı 

,

3

1

3

2

3

2

3

1

3

1

)

,

(

3

1

3

1

3

2

3

1

3

2

3

2

3

1

3

4

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

y

u

y

v

x

u

x

v

u

J



































 

.

3

1

)

,

(

u

v

u

J



 

Endi 

2

3

uv

y



 esapqa alıp, berilgen integralda (6’) almastırıwdı orınlasaq, 

onda (5) formulaǵa kóre  







D

D

dudv

v

u

J

uv

dxdy

y

)

,

(

2

3

 

boladı. Keyingi integraldı esaplaymız. 

 



 













D

D

du

dv

v

dudv

v

dudv

v

u

J

uv

9

7

)

3

1

3

8

(

3

1

)

(

3

1

3

1

)

,

(

2

1

2

1

2

2

2

. 

Demek, 

9

7

3





D

dxdy

y

. ► 

 

17.3. Úsh eseli integral. Úsh eseli integraldı esaplaw 

 

Meyli 

3

R  keńislikte shegaralanǵan, hám kólemge iye bolǵan  V  dene 

(kóplik) te 

)

,

,

(

z

y

x

f

 funkciya anıqlanǵan hám shegaralanǵan bolsın.  

M

z

y

x

f

m





)

,

,

(

 

 





V

z

y

x



)

,

,

(

.