§. Funksiyani to‘la tekshirish va grafigini yasash

lim y’= lim x^x(lnx+1)=-, bundan funksiya grafigi (0,1) nuqtada ordinatalar o‘qiga
x0 x0
urinishi kelib chiqadi.
Funksiya grafigi 45–rasmda berilgan.

4. 
   f(x)=x+ln(x²-1) funksiyani to‘la tekshiring va grafigini chizing.
   

Yechish. 1) Funksiya x²-1>0, ya’ni (-;-1) va (1;+) oraliqlarda aniqlangan va uzluksiz. Funksiyaning chegaraviy qiymatlarini izlaymiz:

lim f(x)=
x10
lim (x+ln(x²-1))=-;
x10
lim f(x)=
x10
lim (x+ln(x²-1))=-.
x10

Demak, funksiya grafigi ikkita x=-1 va x=1 vertikal asimptotalarga ega.

2. 
   funksiya toq ham, juft ham, davriy ham emas.
   
3. 
   funksiya (-,-1) intervalda manfiy, (1,+) intervalda yagona noli mavjud, uni topish uchun taqribiy hisoblash metodlaridan foydalaniladi, natijada x₀1,15 ekanligini aniqlashimiz mumkin. Demak, funksiya (1;1,15) intervalda manfiy, (1,15, +) oraliqda musbat.
   
4. 
   Og‘ma asimptotalarini izlaymiz:
   

k= lim
^y = lim (1+
ln( x²  1)
)=1,

x _x x_x

b= lim (y-kx)=
x
lim ln(x²-1)=+,
x

demak og‘ma asimptota mavjud emas.

2. 
   Funksiya hosilasi y’=1+2x/(x²-1) funksiyaning aniqlanish sohasida mavjud, shu sababli uning kritik nuqtalari faqat statsionar nuqtalardan iborat bo‘ladi. Bunda y’=0 tenglama
   

yechimlari x₁=-1- bo‘lib, x₂=-1+
va x₂=-1+ funksiyaning

aniqlanish sohasiga tegishli emas. 46-rasm

Shunday qilib, yagona kritik nuqta mavjud va (-;-1) oraliqqa tegishli.

(1;+) oraliqda y’>0 va funksiya o‘suvchi bo‘ladi. x₁=-1-
nuqtada maksimum

mavjud. Uning ordinatasi f(-1-
)=-1-
+ln(2+2
) -0,84 ga teng.

2( x²  1)

2. 
   Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y’’=- _{( x2  1)2}
   

grafik qavariq. Funksiya grafigi 46-rasmda berilgan.
. Bundan y’’<0, demak

Savollar

1. 
   Asimptota qanday aniqlanadi? Uning geometrik ma’nosi nimadan iborat?
   
2. 
   Og‘ma asimptotani ta’riflang. Gorizontal asimptota nima?
   
3. 
   Intervalda uzluksiz bo‘lgan funksiyaning vertikal asimptotasi bo‘lishi mumkinmi? cosx va ctgx funksiyalarni (0;) intervalda qarang.
   
4. 
   Funksiyani to‘la tekshirish uchun nima ishlar bajariladi?
   

Misollar

1. 
   Quyidagi funksiyalarning barcha asimptotalarini toping:
   

1) y=x²/(x+4); 2) y=2x+arctgx; 3) y=lnsinx;
4) y=cosx/x; 5) y=x³/(x+1)²; 6) y=3^x/(x²+1).

2. 
   Funksiyalarni tekshiring va grafigini chizing.
   

a) y=(x-2)²(x+3); b) y=x/(x²-1); c) y=  ;

d) y=(x-4)
; e) y=sinx+sin2x; f) y=xe^-x;

3. 
   Funksiya grafigiga ko‘ra (47, 48-rasmlar) hosilaning grafigini sxematik ravishda chizing.
   

47-rasm 48-rasm

4. 
   Hosilasining grafigiga (49, 50-rasmlar) ko‘ra funksiya grafigini sxematik ravishda tiklang.
   

49-rasm
50-rasm