=0 tenglamaning barcha ildizlari to`plami , 1, -1, -1, -1 elementlardan iborat bo`lmasdan, balki va -1 elementlardan iborat

P(x) va Q(x) predikatlarning kon'yuksiyasi deb, M da aniqlangan shunday predikatga aytamizki, u M ning P(x) va Q(x) larga bir vaqtda chin qiymat beradigan elementlarida chin bo’ladi va boshqa elementlarida yolg’on bo’ladi. P(x) va Q(x) predikatlarning kon’yunksiyasi P(x)Q(x) orqali belgilanadi.
Diz’yunksiya (va tor ma'nodagi diz’yunksiya), implikatsiya va ekvivalentsiya amallari ham xuddi shunga o’xshash fikrlar ustida kiritilgan mos amallardan kelib chiqib aniqlanadi.
Fikrlar mantiqdagi amallarni predikatlar fikrlarga nisbatan kengroq va shu bilan birga fikrlarga kelib taqaladigan tushunchadir.
Ko’p o’rinli predikatlar ustida ham mantiq amallar yuqoridagiga o’xshash kiritiladi. Biz ularning ta'rifini keltirib o’tirmasdan bir nechta misollarda tushuntiramiz.
Agar P(x) va Q(x) ikkita bir o’rinli predikat bo’lsa, u holda P(x)Q(x) va P(x)Q(y) predikatlarni chalkashtirmaslik kerak. P(x)Q(x) bir o’rinli predikat, P(x)Q(y) esa ikki o’rinli predikatdir.
Endi gaplarni tilda ifodalashga doir misollar ko’raylik
1)"Har qanday ratsional son haqiqiy son bo’ladi" (1)
degan gapni quyidagicha aytish ham mumkin:
“Har qanday x uchun x ratsional son bo’lsa, x haqiqiy son bo’ladi".
Biz "x - ratsional son" degan gapni P(x) orqali va "x - haqiqiy son" degan gapni Q(x) orqali belgilaymiz. U holda (1) ni ushbu:
"Har qanday x uchun P(x) => Q(x)" (2)
simvolik ko’rinishda ifodalash mumkin. Qabul qilingan belgilashimizga muvofiq, "5 - ratsional son" degan fikrni simvolik
P(5) (3)
ko’rinishda yozish mumkin. Predikatlar ustida hozirgacha kiritilgan amallarga ko’ra (2) va (3) ifodalar bo’limning boshlanishida keltirilgan argumentdagi asoslarning simvolik tarjimasi bo’ladi.
2) "Ayrim haqiqiy sonlar ratsional son ham bo’ladi" degan gapni quyidagicha aytish ham mumkin:
"Shunday x mavjudki, x - haqiqiy son va x - ratsional son bo’ladi". (4) Yuqorida kiritilgan predikatlardan foydalanib, gapimizni, quyidagicha simvolik yozishimiz mumkin:
"Shunday x mavjudki, Q(x)P(x)".
3) Ushbu
"Shunday x mavjudki, Q(x)=>P(x)" (5)
gap quyidagi gap bilan bir ma'noni anglatadi.
"Shunday x mavjudki, Q(x)P(x)", (6)
chunki biz "Q(x)=>P(x)" formani unga ekvivalent bo’lgan forma bilan almashtirdik. Lekin bu (6) gap avvalgi misoldagi (4) gap bilan bir xil ma'noni bildirmaydi. Haqiqatan, biz x ning aniqlanish sohasidan haqiqiy son bo’lmagan predmetni topishimiz bilanoq, (5) ning haqiqatligiga rozi bo’lishimiz kerak, ammo (4) da unday emas.
Kelishilganiga ko’ra predikatning o’zgaruvchisiga uning aniqlash sohasidan qiymat bersak, u holda fikr hosil qilamiz. Masalan, agar R(x) - "x o’ninchi sinf o’quvchisi" degan predikatni bildirsa, u holda x o’rniga Muzaffar ismini qo’yib, "Muzaffar 10 – sinf o’quvchisi" degan fikrni hosil qilamiz. R(x) predikatdan unga "har qanday x uchun" degan ifodani qo’shish bilan ham fikr hosil qilish mumkin.
Har qanday x uchun x – o’ninchi sinf o’quvchisi. (7)
Albatta, biz (7) fikrni boshqacha ibora bilan quyidagicha ifodalashni; afzal ko’ramiz (chunki, shunga odatlanganmiz).
"Har bir kishi o’ninchi sinf o’quvchisi" (8)
Buning haqiqatan fikr ekaniga shubha yo’q, chunki u tayin bir da'voni ifoda etyapti, shu bilan birga uning yolg’onligiga shubha yo’q, chunki jami insonlar 10 - sinf o’quvchisi bo’lishi mumkin emas. Shunga ahamiyat berish kerakki, agar x ning qiymatlar sohasi oldindan ko’rsatilgan bo’lsa (masalan, M to’plam o’n o’quvchidan iborat bo’lsa, ya'ni ularning familiyasi ko’rsatilgan bo’lsa), u holda bu fikrning chinlik qiymati boshqa bo’lishi ham mumkin. Umuman, bunday fikrning chinlik qiymati predikatdagi o’zgaruvchining qiymatlar sohasiga bog’liq bo’ladi.