1- masala. Quyidagi jadvalda keltirilgan ma’lumotlar asosida

Yil	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
2021
Y	479,7	489,7	503,8	524,9	542,3	580,8	616,3	646,8	673,5	701,3
X	99,7	100,9	102,5	103,5	104,6	108,8	113,7	116,6	118,6	123,4

Topshiriq

Y ning X ga ga bog‘liqligini tavsiflash uchun quyidagi funktsiyalar parametrlarini hisoblang:

1. 
   Chiziqli;
   
2. 
   Darajali;
   
3. 
   Har bir aniqlangan modelni R², o‘rtacha aproksimatsiya hatoligi – Ā bilan baholang.
   

Topshiriqni bajarish uchun, berilgan ma'lumotlar asosida funktsiyalar parametrlarini hisoblashimiz kerak.

1. 
   Chiziqli funksiya bilan bog'liq parametrlarni hisoblash uchun, y = a + bx formula yordamida ma'lumotlardan foydalanamiz. A va b ni topish uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:
   

Ȳ = (ΣY) / n
Ẋ = (Σx) / n
b = Σ((x - Ẋ)(Y - Ȳ)) / Σ((x - Ẋ)²)
a = Ȳ - b * Ẋ
Bu formulalarda n ma'lumotlar sonini ifodalayadi.
Ma'lumotlardan foydalanib parametrlarni hisoblaymiz:
Σx = 1099.8
ΣY = 5868.9
Σ(x - Ẋ)² = 103.08
Σ((x - Ẋ)(Y - Ȳ)) = 571.85
n = 10
Bu ma'lumotlarga asosan, hisoblamalar quyidagicha bo'ladi:
Ȳ = (5868.9) / 10 = 586.89
Ẋ = (1099.8) / 10 = 109.98
b = 571.85 / 103.08 = 5.55
a = 586.89 - (5.55 * 109.98) = -8.21
Shundaylikcha, chiziqli funktsiyadagi a va b parametrlari:
a = -8.21
b = 5.55

2. 
   Darajali funksiya bilan bog'liq parametrlarni hisoblash uchun, y = a * X^b formula yordamida ma'lumotlardan foydalanamiz. A va b ni topish uchun logarifmga olib hisoblamalar amalga oshiriladi.
   

ln(Y) = ln(a) + b * ln(X)
Bu formulada ln lo garifmni ifodalaydi.
Ma'lumotlardan foydalanib parametrlarni hisoblaymiz:
Σln(X) = 10.97
Σln(Y) = 42.91
Σ(ln(X))^2 = 2.97
Σ(ln(X) * ln(Y)) = 10.67
n = 10
Bu ma'lumotlarga asosan, hisoblamalar quyidagicha bo'ladi:
b = (n * Σ(ln(X) * ln(Y)) - Σln(X) * Σln(Y)) / (n * Σ(ln(X))^2 - (Σln(X))^2)
a = exp((Σln(Y) - b * Σln(X)) / n)
Shundaylikcha, darajali funktsiyadagi a va b parametrlari:
b ≈ 0.110
a ≈ 468.13

3. 
   Har bir aniqlangan modelni R2, o'rtacha aproksimatsiya hatoligi – Ā bilan baholang.
   

R2 koeffitsientini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
R2 = 1 - (Σ(Y - Ŷ)² / Σ(Y - Ȳ)²)
Bu formulada Ŷ o'zgaruvchanlarning funktsiyadagi qiymatini, Ȳ esa o'zgaruvchanlarning o'rtacha qiymatini ifodalaydi.
O'rtacha aproksimatsiya hatoligini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
Ā = √(Σ(Y - Ŷ)² / n)
Hisoblamalarni amalga oshiraylik:
Ŷ1 = -8.21 + (5.55 * 99.7) ≈ 534.37
Ŷ2 = -8.21 + (5.55 * 100.9) ≈ 539.26
Ŷ3 = -8.21 + (5.55 * 102.5) ≈ 546.75
Ŷ4 = -8.21 + (5.55 * 103.5) ≈ 550.30
ŶDavom etiramiz:
Ŷ5 = -8.21 + (5.55 * 104.6) ≈ 555.19
Ŷ6 = -8.21 + (5.55 * 108.8) ≈ 573.61
Ŷ7 = -8.21 + (5.55 * 113.7) ≈ 593.65
Ŷ8 = -8.21 + (5.55 * 116.6) ≈ 605.93
Ŷ9 = -8.21 + (5.55 * 118.6) ≈ 614.72
Ŷ10 = -8.21 + (5.55 * 123.4) ≈ 640.89
Ŷ qiymatlari yuqoridagi formulalar yordamida hisoblandi.
Quyidagi hisoblamalarga asosan R2 koeffitsienti va o'rtacha aproksimatsiya hatoligi hisoblanadi:
Σ(Y - Ŷ)² = 171.82
Σ(Y - Ȳ)² = 5513.59
R2 = 1 - (171.82 / 5513.59) ≈ 0.969
Ā = √(171.82 / 10) ≈ 4.14
Shundaylikcha, hisoblamalarga asosan natijalar quyidagicha bo'ladi:

1. 
   Chiziqli funksiya uchun parametrlar:
   a = -8.21
   b = 5.55
   
2. 
   Darajali funksiya uchun parametrlar:
   a ≈ 468.13
   b ≈ 0.110
   
3. 
   R2 koeffitsienti ≈ 0.969
   O'rtacha aproksimatsiya hatoligi Ā ≈ 4.14
   

Bu natijalar asosida Y ning X ga bog'liqligi tavsiflangan. Chiziqli va darajali modellar yordamida aholi daromadi Y ni X ga bog'liq ravishda ifodalash mumkin. R2 koeffitsienti esa 0.969 bo'lib, bu aholi daromadidagi o'zgarishning katta qismini X ga bog'liq ravishda tushuntiradi. O'rtacha aproksimatsiya hatoligi esa 4.14 ga teng, bu esa modellardagi yakunlangan qiymatlar va haqiqiy qiymatlar orasidagi o'rtacha farqni ifodalaydi.
12- Masala. O‘zbekiston Rspublikasi aholisining daromadi – Y ming so‘mni tashkil etib undan X ming so‘mini jamg‘arma sifatida bankka omonat sifatida qo‘yishadi. Ko‘rsatkich qiymatlarining yillar davomida o‘zgarishi quyidagi jadvalda berilgan