1. avtonom sistemalar

1-natija. Avtonom sistemasining yechimi vaqtning chekli qiymatida maxsus nuqtaga erisha olmaydi.
Isbot. Aytaylik, – maxsus nuqta, ya’ni yechim bo‘lsin. Agar va yechimlarning trayektoriyalari ustma-ust tushmasa, u holda ular umumiy
nuqtaga ega bo‘lmaydi. Shuning uchun larda o‘rinli. yechim faqat yoki bo‘lganda maxsus nuqtaga yaqinlashishi mumkin.■
2-teorema. Avtonom sistemaning har bir trayektoriyasi quyidagi turlardan bittasiga tegishli bo‘lishi mumkin:
1) muvozanat nuqta (nuqta);
2) o‘z-o‘zini kesmaydigan yopiq egri chiziq, ya’ni eng kichik musbat davrli yechimga mos keluvchi trayektoriya;
3) o‘z-o‘zini kesmaydigan yopiq bo‘lmagan (ochiq) egri chiziq, ya’ni davriy bo‘lmagan yechimga mos keluvchi trayektoriya.
Isbot. Agar avtonom sistemaning yechimi bo‘lsa, u holda trayektoriya nuqtada bo‘ladi. Agar , va bo‘lsa, u holda trayektoriya -yopiq bo‘lmagan o‘z-o‘zini kesmaydigan egri chiziqdan iborat bo‘ladi. Agar va , va bo‘lsa, u holda trayektoriya o‘z-o‘zini kesmaydigan yopiq egri chiziqdan iborat bo‘ladi (3-teoremaga asosan).■
3-teorema. Aytaylik, vektor-funksiya (1) sistemaning intervalda aniqlangan biror yechimi bo‘lsin. Agar , va bo‘lsa, u holda shu yechimni intervalga davom ettirish mumkin.
Isbot. 1-teoremaga ko‘ra, bo‘lgani uchun , funksiya ham yechim bo‘ladi va , ayniyat o‘rinli. Bu ayniyatdan funksiya intervalda aniqlangani uchun funksiya intervalda aniqlangan bo‘ladi. Haqiqatan ham tengsizlikdan bo‘lganda va demak, yechimni dan chapga miqdorga davom ettirish mumkin, shunga o‘xshash, bo‘lganda , ya’ni yechimni dan o‘ngga miqdorga davom ettirish mumkin bo‘ladi. Har ikki holni birlashtirib yechimni intervalga davom ettirish mumkinligini qayd qilamiz. Shu intervalda aniqlangan yechim uchun ayniyat o‘rinli. desak, u holda , ya’ni bundan xuddi avvalgidek ekaniligi kelib chiqadi. funksiya intervalda aniqlangan bo‘lgani uchun oxirgi ayniyatdan foydalanib, mavjudlik intervalini yanada kengaytirish mumkin. Boshqacha aytganda, intervalda aniqlangan yechimni qurish mumkin. Bu yechimni deb belgilaymiz. Shunga o‘xshash, mavjudlik intervalini dan iborat bo‘lgan yechimni qurish mumkin.
Yuqoridagi tengsizlikda da limitga o‘tsak, interval hosil bo‘ladi ( va lar qanday bo‘lishidan qat’iy nazar). Shu intervalda aniqlangan yechimni deymiz. Ammo isbot davomida avtonom sistemaning har qanday trayektoriyasi chekli vaqtda cheksizga ketib qolmasligidan foydalanildi.■