1. Birinchi va ikkinchi tartibli hususiy hosilalar. To'la Differensial

780-23 guruh talabasi Qurbonaliyev Oblonazar
Mavzu: Birinchi va ikkinchi tartibli hususiy hosilalar. To‘la differensial, taqribiy hisoblash

Reja:

1. Birinchi va ikkinchi tartibli hususiy hosilalar.

2. To'la Differensial.

3. Taqribiy Hisoblash.
Birinchi va ikkinchi tartibli hosilalar, matematikada funksiyaning o'zgarishlarini va uning "tartibini" izlashda foydalaniladigan qavramlardir.

### 1. **Birinchi Tartibli Hosila (First-Order Derivative):**

Birinchi tartibli hosila, bir funktsiyaning birinchi darajadagi o'zgarishini ifodalaydi. Agar \(f(x)\) bir funktsiya bo'lsa, uning birinchi tartibli hosilasi \(f'(x)\) yoki \(\frac{df}{dx}\) bilan ifodalaymiz.

\[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Bu formulani ishlatib, har bir \(x\) qiymati uchun funksiyaning o'zgarish tezligini topish mumkin.

### 2. **Ikkinchi Tartibli Hosila (Second-Order Derivative):**

Ikkinchi tartibli hosila, bir funktsiyaning ikkinchi darajadagi o'zgarishini ifodalaydi. Agar \(f(x)\) bir funktsiya bo'lsa, uning ikkinchi tartibli hosilasi \(f''(x)\) yoki \(\frac{d^2f}{dx^2}\) bilan ifodalaymiz.

\[f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{df}{dx} \right)\]

Bu formulani ishlatib, har bir \(x\) qiymati uchun funksiyaning o'zgarish tezligining o'zgarishlarini topish mumkin.

### 3. **Birinchi Tartibli Hosilalarning Ko'rsatkichi:**

Birinchi tartibli hosilaning algoritmi, funksiyaning tangent chiziqsining ko'rsatkichi bo'ladi. Agar \(f'(x_0)\) qandaydir bir nuqta \(x_0\) da mavjud bo'lsa, bu nuqta tangent chiziqsi, funksiyaning ushbu nuqtadagi o'zgarish tezligini ifodalaydi.

### 4. **Ikkinchi Tartibli Hosilalarning Ko'rsatkichi:**

Ikkinchi tartibli hosila esa funksiyaning konkavligini yoki konveksligini topishda yordam beradi. Agar \(f''(x_0) > 0\), u holda funksiya \(x_0\) nuqtada konveksdir; agar \(f''(x_0) < 0\), u holda funksiya konkavdir.

Bu hosilalar va ularning taqribiy hisoblash usullari, diferentsial hisoblash, optimallashtirish, fizika, statistika va boshqa sohalar bo'yicha tushunchalarga asoslanadi.

**To'la Differensial (Total Differential):**

To'la differensial, bir funksiyaning barcha o'zgaruvchilar bo'yicha differensialini ifodalaydigan qavramdir. Agar \(f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\) ko'rsatkichlar bo'yicha yaratilgan funksiya bo'lsa, uning to'la differensiali quyidagicha ifodalaydi:

\[df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n\]

Bu formulada \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\) - bu \(f\) funksiyasining \(x_i\) o'zgaruvchiga bo'yicha qismi hisoblanadi va \(dx_i\) - bu \(x_i\) o'zgaruvchisinin o'zgarishini ifodalaydi.

To'la differensialni hisoblashning sababi, bir funksiyadagi o'zgaruvchilarning har biri bo'yicha o'zgarishlarni hisoblash orqali umumiy o'zgarishni aniqlashni ta'minlashdir. Bu esa funksiyadagi o'zgarishlarni ko'rsatkichlar bo'yicha tahlil qilishni yordam beradi.

Masalan, agar \(f(x, y) = x^2 + 2y^2\) bo'lsa, uning to'la differensiali quyidagicha bo'ladi:

\[df = 2x \,dx + 4y \,dy\]

Bu formulani ishlatib, \(x\) va \(y\) o'zgaruvchilarining qiymatlariga bog'liq funksiyaning o'zgarishini hisoblash mumkin. To'la differensial, funksiyaning "o'zgarishlarini" hisoblashda va tasavvurlashda qulaylik yaratadi.

**Taqribiy Hisoblash (Approximation):**

Taqribiy hisoblash, bir matematik amaliyotida aniq hisoblashning qiyinchiliklariga yoki murakkabliklariga qarshi kelgan yechim hisoblash uchun ishlatiladigan usuldir. Taqribiy hisoblashda, odatda oson hisoblash yoki aniq natijaga yetishish maqsadida murakkab amalga oshirilgan hisoblashning oson, ammo to'liq qarorga yaqin natijaga olish uchun qo'llaniladi.

**Taqribiy Differensial:**

Birinchi tartibli hosilani \(f'(x)\) taqribiy hisoblashda, odatda quyidagi formuladan foydalaniladi:

\[f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Bu formulada \(h\) bir taqribiy qiymat (ko'rsatkich)dir, va \(f'(x)\) ni aniqlash uchun \(x\) nuqtasida \(f(x)\) funksiyaning qiymatlaridan foydalaniladi. Bu formulani ishlatib, yaxin qiymatlarda birinchi tartibli hosilani taqribiy hisoblash mumkin.

**Taqribiy Integral:**

Integralni taqribiy hisoblashda, odatda Riemann integrali uchun qo'llaniladi. Agar \(f(x)\) funksiya bo'lsa va \(a\) dan \(b\) gacha bo'lgan oraliqda integrallansa, integralni taqribiy hisoblash quyidagicha ifodalaydi:

\[\int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x_i\]

Bu formulada \(x_i\) taqribiy nuqta, \(\Delta x_i\) taqribiy intervalni ifodalaydi. \(n\) ni katta qilib, intervalni yuzaga keltirish orqali integralni taqribiy hisoblash mumkin.

Taqribiy hisoblash usullari, murakkab matematik modellarini yoki funksiyalarni oson hisoblash va tasavvurlashda qo'llaniladi. Taqribiy hisoblash, matematik modellarini kompyuter algoritmalariga qo'llab-quvvatlash va ilmiy tadqiqotlarda ham juda keng foydalaniladi.