1. Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsallari

2-tasdiq. Berilgan g₁, g₂ , ..., g_n vektorlar uchun
Ae₁  g₁, Ae₂  g₂ , ..., Ae_n  g_n
shartni qanoatlantiruvchi A chiziqli almashtirish mavjud va yagona.

Isbot. Dastlab, A chiziqli almashtirish
Ae₁, Ae₂ , ..., Ae_n

vektorlar orqali bir qiymatli aniqlanishini ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham, V fazodan olingan ixtiyoriy
x  ₁e₁  ₂e₂  ...  _ne_n
vektor uchun
Ax  A(₁e₁  ₂e₂ ...  _ne_n )  ₁ Ae₁  ₂ Ae₂ ...  _n Ae_n

bo‘ladi. Demak, Ax vektor aniqlanadi.
g₁, g₂ , ..., g_n vektorlar orqali bir qiymatli

Endi xar qanday g₁, g₂ , ..., g_n vektorlar uchun Ae_i  g_i tenglikni
qanoatlantiradigan A chiziqli almashtirish mavjudligini ko‘rsatamiz.

4

Buning uchun ixtiyoriy
x  ₁e₁  ₂e₂  ...  _ne_n
vektorga

₁g₁  ₂ g₂  ...  _n g_n vektorni mos qilib qo‘yamiz. x vektor e_i
bazis

vektorlar orqali bir qiymatli ifoda etilgani uchun, unga muayyan bir Ax vektor mos qo‘yiladi. Bunday aniqlangan akslantirish chiziqli almashtirish bo‘ladi.
Chiziqli almashtirishlar va matritsalar orasidagi bog‘lanishni

aniqlaymiz. Yuqoridagi tasdiqdan ixtiyoriy
g₁, g₂ , ..., g_n
vektorlar

uchun
Ae₁  g₁, Ae₂  g₂ , ..., Ae_n  g_n
shartni qanoatlantiruvchi

chiziqli almashtirish yagona ravishda aniqlanishiga ega bo‘ldik. g_k

vektorning
e₁, e₂ , ..., e_n
bazisdagi koordinatalarini
a_1,k , a_2,k , ..., a_n,k

orqali belgilaylik, ya’ni



n



g_k  Ae_k  _a_i,ke_i .
i1

Ushbu
a_i,k koeffitsientlar orqali
(a_i,k )
matritsani hosil qilamiz.

Hosil qilingan matritsa A chiziqli almashtirishning
bazisdagi matritsasi deb aytiladi.
e₁, e₂ , ..., e_n

Shunday qilib, berilgan
e₁, e₂ , ..., e_n
bazisda xar bir A chiziqli

almashtirishga
(a_i,k )
matritsa bir qiymatli mos qo‘yilishiga ega

bo‘ldik. Demak, chiziqli almashtirishlarni matritsalar yordamida tasvirlash mumkin. Lekin ushbu matritsa bazisga bog‘liq ekanligini, bazis o‘zgarganda esa matritsaning ham o‘zgarishini ta’kidlab o‘tish joiz.

Misol 2. Aytaylik,
V  uch o‘lchamli Yevklid fazosi

bo‘lsin. A chiziqli almashtirish sifatida x vektorni OXY tekisligiga proeksiyalashdan iborat bo‘lgan akslantirishni olamiz. Bazis sifatida

koordinatalar o‘qlari bo‘yicha yo‘nalgan birlik qabul qilamiz. U holda
Ae₁  e₁, Ae₂  e₂ , Ae₃  0,
ya’ni, bu bazisda A almashtirishning matritsasi
e₁, e₂ , e₃
vektorlarni

ko‘rinishga ega bo‘ladi.
 ^{1 0 0} 

 
^ 0 1 0 ^

 
^ 0 0 0 ^

Endi chiziqli almashtirishlar ustida amallarni aniqlaymiz. Chiziqli almashtirishlar ustida qo‘shish, songa ko‘paytirish va ko‘paytirish amallarini aniqlash mumkin.
3-ta’rif. A va B chiziqli almashtirishlar yig‘indisi deb, x
vektorga Ax  Bx vektorni mos qo‘yuvchi C almashtirishga aytiladi.

Boshqacha aytganda, C  A  B
Cx  Ax  Bx ekanligini bildiradi.
ifoda xar qanday x uchun

Aytaylik, A va B chiziqli almashtirishlar
e₁, e₂ , ..., e_n
bazisda

mos ravishda
(a_i,k )
va (b_i,k )
matritsalarga ega bo‘lsin. U holda

C  A  B
e₁, e₂ , ..., e_n
chiziqli almashtirishning matritsasini topish uchun bazis elementlarning ushbu almashtirishdagi qiymatlarini

qaraymiz, ya’ni


Ce_k  Ae_k  Be_k  _(a_i,k  b_i,k )e_i .
i1

Bu esa C chiziqli almashtirishning
e₁, e₂ , ..., e_n
bazisdagi
(c_i,k )

matritsasi uchun c_i,k  a_i,k  b_i,k tenglik bajarilishini anglatadi.
Shunday qilib, A va B chiziqli almashtirishlar yig‘indisining berilgan bazisdagi matritsasi chiziqli almashtirishlarning shu bazisdagi matritsalari yig‘indisiga teng ekanligini ko‘rsatdik.
4-ta’rif. A chiziqli almashtirishning  soniga ko‘paytmasi
deb, x vektorga  Ax vektorni mos qo‘yuvchi C  A almashtirishga aytiladi, ya’ni (A)x  ( Ax).

C  A
chiziqli almashtirishning berilgan bazisdagi matritsasi

  (a_i,k ) ekanligini ko‘rish qiyin emas.
5-ta’rif. A va B almashtirishlarning ko‘paytmasi deb, avval
B almashtirishni so‘ngra esa A almashtirishni ketma-ket bajarishdan

6

iborat bo‘lgan C almashtirishga aytiladi, ya’ni C  AB ifoda x vektor uchun Cx  A(Bx) ekanligini bildiradi.
Dastlab, chiziqli almashtirishlarning ko‘paytmasi yana chiziqli almashtirish bo‘lishini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham,
C(x₁  x₂ )  A(B(x₁  x₂ ))  A(Bx₁  Bx₂ ) 
 A(Bx₁ )  A(Bx₂ )  Cx₁  Cx₂ ,
C(x)  A(B(x))  A(Bx)  A(Bx)  Cx.
Endi chiziqli almashtirishlar yig‘indisining matritsasini aniqlaga- nimiz kabi ko‘paytmaning ham matritsasini aniqlaymiz.

n



^Cek ^{ c}i,k^ei
i1

ekanligidan


^ci,k ^{ a}i, j^bj ,k j1

kelib chiqadi. Bundan ko‘rinib turibdiki,
(c_i,k )
matritsaning
^ci,k

elementlari
(a_i,k )
matritsaning i -qator elementlari bilan
(b_i,k )

matritsaning k -ustunining mos elementlari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng.
Shunday qilib, C  AB chiziqli almashtirishning (c_i,k ) matritsasi

A va B chiziqli almashtirishlar
(a_i,k )
va (b_i,k )
matritsalari

ko‘paytmasidan iborat ekanligini hosil qildik.
Xulosa o‘rnida shuni aytishimiz mumkinki, chiziqli almashtirishlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallari matritsalarni

qo‘shish va ko‘paytirish kabi amalga oshirilib, quyidagi xossalar o‘rinli bo‘ladi:

1. 
   A  B  B  A;
   

2) ( A  B)  C  A  (B  C);

3. 
   A(BC)  ( AB)C;
   
4. 
   (A  B)C  AC  BC, C(A  B)  CA  CB.
   

Aytaylik, ixtiyoriy A chiziqli almashtirish va E birlik almash- tirish berilgan bo‘lsin, u holda
AE  EA  A
ekanini osongina tekshirish mumkin.
A almashtirishning darajasini odatdagidek
A²  A·A, A³  A²·A, ...

kabi aniqlaymiz. Sonlar uchun o‘rinli bo‘lganidek, qilamiz.
A⁰  E
deb faraz

Yuqoridagilardan foydalangan holda A chiziqli almashtirishdan tuzilgan ko‘phadni ham qarash mumkin, ya’ni ixtiyoriy
P(t)  a t^m  a t^m1 ...  a ko‘pxad berilgan bo‘lsa, P( A) deb
0 1 m
P( A)  a A^m  a A^m1 ...  a E
0 1 m
formula bilan aniqlangan chiziqli almashtirishni tushunamiz.
Endi teskari almashtirish tushunchasini kiritamiz.
6-ta’rif. Agar AB  BA  E bo‘lsa, B almashtirishga A ning teskari almashtirishi deyiladi, bu yerda E birlik almashtirishdir.

A almashtirishga teskari almashtirish
_A1
kabi belgilanadi.

Ta’rifdan ko‘rinadiki, agar B almashtirish A ga teskari bo‘lsa
B( Ax)  x, bo‘ladi.
Xar qanday almashtirish uchun teskari almashtirish mavjud bo‘lavermaydi. Masalan, uch o‘lchamli fazoni OXY tekislikgiga proyeksiyalash almashtirishi teskari almashtirishga ega emas.
Teskari almashtirish tushunchasi bilan teskari matritsa tushunchasi bog‘liqdir. Ma’lumki, berilgan matritsa teskarilanuvchi
8

bo‘lishi uchun uning determinanti noldan farqli bo‘lishi zarur va yetarli.
Berilgan bazisda matritsalar bilan chiziqli almashtirishlar orasida barcha amallarni saqlovchi o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud bo‘lganligi uchun, A almashtirish uning biror bazisdagi matritsasi determinanti noldan farqli bo‘lgandagina teskarilanuvchi bo‘lishi kelib chiqadi. Teskarisi mavjud bo‘lgan almashtirish xosmas almashtirish deyiladi.
Ixtiyoriy A chiziqli almashtirish uchun almashtirishning yadrosi va obrazi deb ataluvchi fazolarni aniqlaymiz.
7-ta’rif. A almashtirishning obrazi deb Ax ko‘rinishidagi
vektorlar jamlanmasiga aytiladi, bu yerda x V . Almashtirishning obrazi Im( A) kabi belgilanadi, ya’ni
Im( A) {y V | x V , Ax  y}.
Ko‘rinib turibdiki, teskarilanuvchi almashtirishning obrazi butun fazo bilan ustma-ust tushadi.