1. Chiziqli almashtirishlar va ularning matritsallari

8-tasdiq. Ixtiyoriy chiziqli almashtirishning obrazi qism fazo tashkil qiladi.

Isbot. Aytaylik,
y₁, y₂ Im( A) bo‘lsin, u holda x₁, x₂ V
vektor-

lar uchun
y₁  Ax₁ va
y₂  Ax₂ . Ixtiyoriy  soni uchun
y₁  Ax₁  A(x₁),

y₁  y₂  Ax₁  Ax₂  A(x₁  x₂ )
ekanligidan y₁ Im( A) va y₁  y₂ Im( A) kelib chiqadi.
Mazkur qism fazoning o‘lchami A almashtirishning rangi
deyiladi.

9-ta’rif. A almashtirishning yadrosi deb
Ax  0
bo‘ladigan

vektorlar jamlanmasiga aytiladi va Ker( A) kabi belgilanadi, ya’ni
Ker( A) {x V | Ax  0}.
10-tasdiq. Ixtiyoriy chiziqli almashtirishning yadrosi qism fazo tashkil qiladi.
Isbot. Haqiqatdan ham, Ax₁  0 va Ax₂  0 bo‘lsa, u holda
^A ^x₁ ^{ x}₂  ^{ Ax}₁ ^{ Ax}₂ ^{ 0 .}

Xuddi shunga o‘xshab, agar
Ax  0
bo‘lsa,
Ax  Ax  0,

ya’ni Ker( A) qism fazo.
Agarda A xosmas almashtirish bo‘lsa, uning yadrosi faqat noldan iborat bo‘ladi.
Misol 3. V fazo darajasi n dan oshmaydigan ko‘phadlar fazosi bo‘lsin. A almashtirish esa differensiallash bo‘lsin. Ya’ni
AP(x)  P^(x).
Bu alamshtirishning yadrosi konstantalardan, obrazi esa, darajasi

n 1
dan oshmaydigan ko‘phadlardan iborat bo‘ladi. Ularning

o‘lchamlari esa, mos ravishda birga va n ga teng.
10-tasdiq. n o‘lchamli V chiziqli fazodagi ixtiyoriy A almashtirishning obrazi va yadrosi o‘lchamlari yig‘indisi butun fazo o‘lchamiga teng, ya’ni dim(Im(A))  dim(Ker( A))  n .
Isbot. Aytaylik, A almashtirish yadrosining o‘lchami k ga teng

bo‘lsin. U holda Ker( A) da e₁, e₂ , ..., e_k
bazis tanlab, uni butun fazo-

dagi e₁, e₂ , ..., e_k , e_{k 1}, ..., e_n bazisgacha to‘ldiramiz.
Ae_{k 1}, ..., Ae_n vektorlarni qaraylik. Bu vektorlar almashtirishning obraziga tegishli bo‘lib, ular Im( A) da bazis tashkil qiladi.

Darhaqiqat, ixtiyoriy
y Im( A)
vektor berilgan bo‘lsa, ta’rifga

ko‘ra shunday x vektor mavjudki, y  Ax . e₁, e₂ , ..., e_n vektorlar V da

bazis bo‘lganligi sababli
x  ₁e₁   ₂e₂  ...  _ne_n . Lekin,

Ae₁  ...  Ae_k  0
bo‘lgani uchun
y  Ax   _{k 1} Ae_{k 1}  ...  _n Ae_n .

Ya’ni ixtiyoriy
y Im( A)
vektor
Ae_{k 1}, ..., Ae_n
vektorlar orqali

chiziqli ifodalanadi.
Endi n  k ta


Ae_{k 1}, ..., Ae_n

vektorlarning chiziqli erkli

ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, ular chiziqli bog‘liq bo‘lsin. U

holda hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lgan  _j
topilib,
sonlar

bo‘ladi.
₁ Ae_{k 1} ...  _nk Ae_n  0

10

x  ₁e_{k 1}  ...  _nke_n
vektorni qaraylik. U holda

^{Ax  A}^₁^e_k1 ^{...  }_nk^e_n  ^{ }₁ ^Ae_{k 1} ^{...  }_nk ^Ae_n ^{ 0}
ekanligidan,

x Ker( A) kelib chiqadi. Bu esa ziddiyat, chunki bir tomondan x

yadroning elementi sifatida
e₁, e₂ , ..., e_k
bazis vektorlarning chiziqli

kombinatsiyasi, ikkinchi tomondan esa,
e_{k 1}, ..., e_n
vektorlarning

chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘lib qoldi. Bu esa, x vektorning

bazis vektorlar yordamida berilishiga zid. Bundan esa, vektorlar chiziqli erkli ekanligi kelib chiqadi.
Ae_{k 1}, ..., Ae_n

Demak, Im( A)  n  k , ya’ni chiziqli almashtirish obrazining
fazo o‘lchami butun fazo o‘lchami bilan chiziqli fazo yadrosi o‘lchami ayirmasiga teng.
Turli bazislarda chiziqli almashtirish matritsalari orasidagi bog‘lanish. Yuqorida ta’kidlaganimizdek, chiziqli almashtirishning matritsasi berilgan chiziqli fazoning bazisiga bog‘liq, ya’ni turli bazislarda chiziqli almashtirish turli matritsalarga ega bo‘ladi. Endi bir bazisdan boshqa bazisga o‘tganda A chiziqli almashtirishning matritsasi qanday o‘zgarishini keltiramiz.

V chiziqli fazoda ikkita
e₁, e₂ , ..., e_n va
f₁, f₂ , ..., f_n
bazislar

berilgan bo‘lsin.
e₁, e₂ , ..., e_n
bazisdan
f₁, f₂ , ..., f_n
bazisga o‘tish

matritsasini (c_{i, j} ) bilan belgilaymiz, ya’ni
 ^f₁ ^{ c}_1,1^e₁ ^{ c}_2,1^e₂ ^{ ...  c}_n,1^e_n ^,
 f  c e  c e  ...  c e ,

^ 2 1,2 1 2,2 2
n,2 n
(28.1)


^ ..........................................
_^ f_n  c_1,ne₁  c_2,ne₂  ...  c_n,ne_n .

A chiziqli almashtirishning
e₁, e₂ , ..., e_n
bazisdagi matritsasini

A  (a_{i, j} ),
f₁, f₂ , ..., f_n
bazisdagi matritsasini esa
B  (b_{i, j} )
orqali

belgilaymiz. Boshqacha aytganda

Ae_k  _a_i,k e_i ,
i1
(28.2)

Af_k  _b_i,k f_i .
i1

(28.3)

Bizning maqsadimiz
(b_{i, j} )
matritsani
(a_{i, j} ) va
(c_{i, j} )
matritsalar

orqali ifodalashdan iboratdir.
1-teorema. Agar biror chiziqli almashtirishning


e₁, e₂ , ..., e_n

va f₁, f₂ , ..., f_n bazislardagi matritsalari mos ravishda A va B _bo‘lib,
birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o‘tish matritsasi C ga teng bo‘lsa,
B  C^1AC

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, berilgan A chiziqli almashtirish va


e₁, e₂ , ..., e_n

hamda
f₁, f₂ , ..., f_n bazislar uchun yuqoridagi (28.1), (28.2) va (28.3)

shartlar o‘rinli bo‘lsin.

e₁, e₂ , ..., e_n
bazis elementlarini
f₁, f₂ , ..., f_n
elementlarga mos

ravishda o‘tkazuvchi C chiziqli almashtirish quramiz, ya’ni Ce_i  f_i .
1-tasdiqqa ko‘ra bunday almashtirish mavjud va yagona

bo‘lib, qurilgan C chiziqli almashtirishning
e₁, e₂ , ..., e_n
bazisdagi

matritsasi (c_{i, j} ) matritsa bilan ustma-ust tushadi. Bundan tashqari, bu chiziqli almashtirish bazis vektorlarni bazis vektorlarga o‘tkazganligi uchun, u teskarilanuvchi almashtirish bo‘ladi.