1. emm vektorlari uchun chegaraviy shartlar

Mavzu:EMM vektorlari uchun chegaraviy shartlar. EM,EMM vektorlari, maydon nazariyasi operatorlari. Elektr va magnit maydon vektorlari.
Divergensiya va rotor. Muhitlarning xossalari. Dielektrik va magnit singdiruvchanlik. 1,2,3-moddiy tenglamalar, ularning fizik ma’nosi.

Reja:

1.EMM vektorlari uchun chegaraviy shartlar
2.EM,EMM vektorlari, maydon nazariyasi operatorlari.
3.Elektr va magnit maydon vektorlari
4.Divergensiya va rotor
5.Muhitlarning xossalari.
6.Dielektrik va magnit singdiruvchanlik.
7.1,2,3-moddiy tenglamalar, ularning fizik ma’nosi.

Elektromagnit maydon (EMM) tushunchasi ostida o`zaro bog`liq hamda bir-biriga shartli ta'sir ko`rsatuvchi elektr va magnit maydonlarning yig`indisidan iborat bo`lgan materiya ko`rinishi tushuniladi. Tashqi EMM alohida ajralib turuvchi xususiyati uning zarralarning elektr zaryadi kattaligiga va harakat tezligiga bog`liq bo`lgan zaryadlangan zarrachalarga kuch bilan ta'sir ko`rsatishida. Telekommunikasiya sohasida vaqt bo`yicha o`zgaruvchan maydondan foydalaniladi. Bunday maydonning elektr qismi magnit qismidan ajralmas va aksincha. Biroq EMM nazariyasida vaqt bo`yicha o`zgarmas bo`lgan (stasionar) jarayonlardan boshlab, to hozirgi kungacha yig`ilib kelgan tarixiy yig`ilmalardan foydalanilgan holda tabiatdagi elektr va magnit hodisalarni o`rganish tajribalaridan foydalaniladi. Doimiy elektr va magnit maydonlari bir-biriga bog`liq bo`lmagan holda mavjud bo`lishi mumkin, ammo ular yakka holdaaxborot uzatish uchun yaroqsiz hisoblanadi. Zamonaviy o`zgaruvchan EMM nazariyasi - elektrodinamikada elektr va magnit maydonlaridan foydalagan holdayagona EMM hosil qilishda davom etmoqda. EMM tabiatda ob'ektiv mavjud bo`lib, materiyaning ko`rinishi hisoblanadi va uning boshqa shakllaridan farqli tarzda - modda. Turli maydonlar o`zaro ustma-ust tarzda bitta hajmda jamlanishi mumkin, modda zarachalari esa o`zaro singib ketmaydi. Modda zarrachalari boshlang`ich m0 massaga va υ tezlikka ega. EMM zarrachalari bo`lmish fotonlar faqat vakuumda s ≈ 3·108 m/s tezlikka ega bo`lganliklari sababli boshlang`ich massaga ega emas. Moddalar bunday tezlikka hech qachon erisholmaydi, sababi uning massasi m=m0/√1- υ 2 /c2 bo`lganda cheksiz bo`lib qolar edi. EMMning elektromagnit to`lqin hamda modda ko`rinishida harakatlanganda inert massaga ega. Buni P.N.Lebedev yorug`lik

bosimini o`lchashdagi o`ta nozik tajribasi davomida aniqladi, D.K.Maksvell esa yorug`lik ham elektromagnit jarayon ekanligini isbotladi.
EMM dagi zaryad va toklarga kuch ta'sir etadi, ularni siljishi natijsida maydon energiyasi kamayadi. Sinov jismi sifatida maydonni nafaqat aniqlab beruvchi, balki uni o`zgartirib yuboruvchi zaryadlangan kichik jism - nuqtaviy zaryadni ko`rib chiqamiz. Unga EMM da Lorens kuchi deb ataluvchi kuch ta'sir etadi , F  q(E [, B], bunda q, υ - elektr zaryadi va uning harakat tezligi; E(r,t) - elektr maydon kuchlanganligi vektori; B (r,t) - magnit induksiya vektori; r - fazodagi zaryad joylashgan nuqtaning vektor-radiusi; t - vaqt. Zaryad qo`zg`almas bo`lganda (υ =0), kuch Fe  q  E , ya'ni, E- birlik musbat qo`zg`almas zaryadga EMM ko`rsatgan ta'sir kuchi. E - vektorning o`lchov birligi N/Kl=B/m. Magnit maydon faqat harakatdagi zaryadlarga (toklarga) ta'sir ko`rsatadi F q[ B] m   Agar υ va B o`zaro perpendikulyar bo`lsa, ta'sir kuchi maksimal bo`ladi, agar υ va B yo`nalish bo`yicha mos tushsa, kuch ta'sir ko`rsatmaydi. Shu tariqa vektor B EMM ning harakatlanayotgan zaryadlarga ta'sir etuvchi kuchi orqali aniqlanadi. B - vektorning o`lchov birligi Ns/(Kl·m) =Bc/m2 =Vb/m2 =Tl. Ko`rib chiqilgan E va B vektorlarning tarkibi tashqi maydonning juda kichik zaryadlar va elementar toklarga ko`rsatadigan ta'siri bilan bog`liq. O`lchanayotgan maydonda buzilishlar yuzaga kelmasligi uchun zaryadlarning kam bo`lishi juda muhim. Ammo elektr zaryadi va tok elementi o`zining xususiy elektr hamda magnit maydoniga ega. Zaryad atrofida chiziqlari uning o`zidan boshlanuvchi elektr maydon doim mavjud. Tokli o`tkazgichlar (o`tkazgich elementlari) chiziqlari o`zini o`rab turuvchi xususiy magnit maydoni hosil qiladi. Dielektrik molekulalaridagi bog`liq elementar zaryadlar va magnit materiallardagi elementar magnit maydon materialga singigan EMM ni butkul o`zgartirib yuborishi mumkin. U holda jarayonni yoritib berish uchun qo`shimcha juft vektorlarni kiritish talab etiladi: D (r,t) - elektr induksiya vektori, birligi Kl/m2 ; H (r,t) - magnit maydon kuchlanganlik vektori, birligi A/m.
Ushbu vektorlar zaryadning xususiy elektr (magnit) maydoni bilan bog`liqligini ifodalagani uchun manba funksiyalari deb ataladi. Agar fazoning istalgan nuqtasida, istalgan vaqtda E, D, B va H vektorlarning kattaliklari ma'lum bo`lsa, bu yerda EMM aniqlangan deb hisoblanadi. Vektor o`z komponentalari orqali aniqlanganligi sababli, vektorlarning har biri o`zida (masalan, E (x,y,z) vektori) x,y,z va t dan matematik fazoviy-vaqt funksiyalarini ifodalaydi. "Maydon" tushunchasiga rasmiy (matematik) yondashilganda uni fazoning turli nuqtalarida turlicha qiymatlarni qabul qiluvchi fizik kattalik (kuch) deb ko`rib chiqish mumkin. EMM nazariyasi eksperimental faktlarning yig`ilishi va umumlashuvi, shuningdek, vektor tahlilga asoslangan matematik apparatlarning taraqqiy etishi natijasida hosil bo`ldi. EMM asosiy tenglamalaridagi E, D, V va H vektorlar "divergensiya" va "rotor" operatorlari yordamida r va J kattaliklar bilan bog`langan. Fazoning har bir nuqtasidagi elektr zaryadi hajmiy zichlik orqali xarakterlanadi 3 lim ,Kl / m q      (1.1) bunda, q- hajmdagi yig`indi zaryad. Maydonning har bir nuqtasidagi zaryadlarning tartibli harakati o`zgaruvchan elektr tokining zichlik vektori orqali ifodalanadi 2 ` Jo tk    , A/m . (1.2) Ma'lum bir S yuza orqali oqib o`tuvchi umumiy elektr toki skalyar kattalik bo`lib, u Jo`tk bilan integral munosabatda bog`liq I JdS А   , (1.3) bu yerda, dS-elementar yuza vektori. Yuqoridagi (1.3) integral S yuza orqali o`tuvchi J vektorning oqimi deb ataladi. Demak, elektr tokini berilgan yuzadan oqib o`tuvchi tok zichligining oqimi sifati
Istalgan modda tarkibida tashqi elektr maydon ta'sirida bir molekuladan boshqasiga siljishi mumkin bo`lgan elektr zaryadlari mavjud bo`lishi mumkin. Ya'ni, ular erkin zaryadlar yoki bir molekula oralig`ida siljiydi. Birinchi holatda biz elektronlar va ionlarni metallarda, elektrolitlarda va ionlashgan gazlardagi harakati haqida ma'lumotga egamiz. Dielektrik muhitlarda biz bog`liq zaryadlarni ko`rib chiqamiz.
Atom va molekulalardagi bog`liq zaryadlarning aralashishi "muhitning qutblanishi" deb nomlanuvchi hodisani yuzaga keltiradi. qutblanish tashqi maydon E0 ga qarama-qarshi yo`nalgan ichki elektr maydonni hosil qiladi. Shu sababli dielektrik ichiga singigan tashqi maydon kuchsizlanadi. Kuchsizlanish darajasi a  - absolyut dielektrik singdiruvchanlik deb ataluvchi parametr bilan ifodalanaadi. Bu parametr EMM ning ikki elektr vektorlarini o`zaro bog`laydi D   a  E . (1.4) Keltirilgan tenglama elektrodinamikaning birinchi moddiy tenglamasi deb ataldi. Moddaning erkin elektronlar bilan to`yinishi uning o`tkazuvchanlik tokini hosil qilish xususiyatini ifodalaydi. Bu xususiyat solishtirma elektr o`tkazuvchanlik parametri -  bilan xarakterlanadi. Ushbu parametr Jo`tk va Ye vektorlarni quyidagi tenglik orqali bog`laydi: Jo `tk    E . (1.5) Bu tenglama ham elektrodinamikaning moddiy tenglamalari qatoriga kiradi. Zanjirlar nazariyasidan ma'lumki, zanjirning bir qismi uchun Om qonuni (1.5) tenglamaning natijasi hisoblanadi. Shu sababli bu tenglama differensial shakldagi Om qonuni deb ham yuritiladi. Har qanday moddaning tarkibida magnit maydonning manbai hisoblangan berk elementar elektr toki mavjud bo`lib, ularni elektronlarning orbital harakati va spinli aylanishi yuzaga keltiradi. Bu elementar toklar tashqi EMM ta'sirida orientasiyalanadigan magnit momentlariga ega. Berilgan hajmdagi magnit momentining yig`indisi muhitning magnitlanish jarayonini belgilaydi. Magnitlanish miqdoriy jihatdan EMM ning ikki magnit vektorlarini bog`lovchi parametr a - absolyut magnit singdiruvchanlik bilan baholanadi B  a  H . (
Bu tenglama elektrodinamikaning uchinchi moddiy tenglamasi hisoblanadi.  a , a,  parametrlar berilgan moddaning fizik-kimyoviy xususiyatlariga, chastotaga, haroratga va ta'sir etuvchi maydonning bosimiga bog`liq. Ularning moqiyati bilan kvant elektrodinamikasi shug`ullanadi. Biz tomondan o`rganilayotgan klassik elektrodinamikada esa muhit yaxlit, EMM xarakterlovchi miqdorlar esa fazoda uzluksiz taqsimlangan. Ya'ni, makroskopik ko`rinishda tasvirlanadi. Makroskopik elektrodinamikada ko`rsatilgan parametrlardan berilgan parametrlar singari foydalaniladi. Moddiy (1.4) va (1.6) tenglamalarda yozilganiga ko`ra,  a , a,  parametrlar skalyar kattalik hisoblanadi. Bunday muhitlar izotrop bo`lib, ularda E va D, H va B, J va E vektorlarning yo`nalishlari mos keladi, muhit xususiyatlari esa vektor yo`nalishlariga bog`liq bo`lmaydi (ya'ni, maydonning tarqalish yo`nalishiga). O`YuCh qurilmalari texnikasida ikkita alohida turdagi materiallar qo`llaniladi: tashqi sharoitlar ta'sirida o`z xususiyatlarini o`zgartiruvchi segnetoelektriklar va ferritlar. Bu hodisalarni skalyar parametrlar bo`lmish a a  , orqali ifodalashni ilojisi yo`q. Shu sababli parametrlar matrisasidan (tenzor) foydalaniladi
  (1.7) unga ko`ra, masalan, V vektorni tashkil etuvchilaridan biri quyidagi ko`rinishda yoziladi Bx  xxHx   yxHy  zxH z , ya'ni, vektorning har bir proeksiyasi H vektorning barcha tashkil etuvchilariga bog`liq. Bu esa ushbu muhitda V va H vektorlar yo`nalish bo`yicha mos kelmasligidan darak beradi. Aniq qilib aytganda, muhitning xususiyatlari EMM ning to`lqin ko`rinishidagi yo`nalishiga bog`liq. Bunday muhit magnit xususiyatlariga ko`ra anizotrop deb ataladi. Anizotrop muhitda elektrodinamik parametrlar skalyar koeffisient bilan emas, tenzor koeffisient bilan almashtiriladi. Segnoelektriklar elektr maydon, ya'ni a  parametr bo`yicha anizotropdir.Berilgan V hajmda  a ,a , parametrlar (skalyarlar va tenzorlar) o`zgarmas bo`lsa, bu muhit bir jinsli deb ataladi. Agar ularga koordinata funksiyalari deb qaralsa, bir jinsli bo`lmagan muhit deb ataladi. Va nihoyat, ko`p holatlarda muhit parametrlarini maydon vektorlariga bog`liqemas deb hisoblash mumkin. Bunda moddiy (1.4)- (1.6) tenglamalar chiziqli. Mos keluvchi muhitlar chiziqli deb ataladi. Muhitlardagi nochiziqlilik asosan o`ta kuchli maydonlarda kuzatiladi. Bu o`quv qo`llanmada faqat chiziqli, bir jinsli va izotrop muhitlar o`rganiladi. Muhit namunalari. Zamonaviy O`YuCh texnikasida dielektrik yo`qotishli, yuqori elektr mustahkamlikka ega va oson qayta ishlanadigan polietilen, polistirol, ftoroplast kabi dielektriklar qo`llaniladi. Shuningdek, yuqori chastotali keramika, shisha, konstruksion plastmassalar va boshqalar. Dielektrik materiallar a  parametr bilan xarakterlanadi. Qabul qilingan SI birlik tizimiga muvofiq quyidagicha ifodalash mumkin:     a 0
bunda 9 0 (1/36 ) 10     ,F/m - elektr doimiysi. Solishtirma dielektrik singdiruvchanlik  - o`lchov birligiga ega bo`lmagan ko`paytma bo`lib, materiallarning ushbu parametr bo`yicha tabulyasiya qilinishini soddalashtiradi. Ya'ni,  1 bo`lgan barcha dielektriklar uchun irrasional π soniga ega emas. Dielektriklardan polietilen, polistirol va ftoroplast qiymat jihatidan juda yaqin bo`lib, 2.0...2.6 diapazon oralig`ida. Keramika uchun  =6.6 , shisha uchun  =4.0 ga teng. Havo vakuumga juda yaqin bo`lib:  1; 0    a . Quruq yer uchun  =3...6; suv uchun   80. O`YuCh qurilmalari konstruksiyalaridagi o`tkazuvchi materiallar yuqori  elektr o`tkazuvchanlikka ega bo`lishlari kerak. Chastotaning o`ta yuqori qiymatlarida to`lqin o`tkazgichdagi toklar EMM aylangan holda faqat metallning sirtidan oqib o`tadi. Yupqa sirt qatlami energiya uzatilishida yo`qotishlarga uchraydi. Bu yo`qotishlar chastota va a parametr ortishi bilan ortib boradi. Shu sababli metallarda qo`llaniluvchi absolyut magnit singdiruvchanlik a  0  magnit doimiysi 7 0 4 10     Gn/m ga yaqin bo`lishi shart. Ya'ni, nisbiy magnit singdiruvchanlik birga yaqin bo`lishi kerak.  1 tenglik berilgan material vakuum singari havo ham magnitlanmasligini bildiradi. Diamagnit mis uchun   0.99999044 (  1) ga, paramagnit alyuminiy uchun  1.0000222 (  1) ga teng, har ikkala metall ham magnit xususiyatlariga ko`ra vakuumga juda yaqin. Elektr o`tkazuvchanligi bo`yicha metallar parametrning kamayib borish tartibida joylashtiriladi: kumush - 7 6.1710 Sm/m; mis - 7 5.810 Sm/m; oltin - 7 4.110 Sm/m; alyuminiy - 7 3.7210 Sm/m. Odatda kumushdan yuqori elektrik o`tkazuvchanlikka ega qoplamni hosil qilish uchun foydalaniladi. Biroq, nam havoda kumush (mis) katta solishtirma qarshilikka ega bo`lgan va EMM quvvat uzatishida issiqlik yo`qotishlarini keltirib chiqaruvchi qatlam bilan qoplanib oson oksidlanadi.
Chegaraviy shartlar deb bir yoki bir nechta juft elektordinamik parametrlar bilan farqlanuvchi maydonning muhitlarning bo`linish chegarasidagi bo`ysunuvchanligiga aytiladi. Masalan, Maksvellning 1- tenglamasi roeksiyalaridan birini yo`qotishlarsiz muhitda (ζ =0; Jo`tk =0) ko`rib chihamiz: a X z y j E z H y H         . Ushbu differensial tenglama Hz va Hy vektorlarning nisbiy tashkil etuvchilaridan olingan xususiy hosilalarni berilgan ikki muhitdan birining Ex qiymati bilan bog`laydi. Bu kabi tenglamalar cheksiz ko`p yechimga ega. Yagona yechimni aniqlash uchun doimiy integrallash doimiysini aniqlash kerak. Ular chegaraviy shartlardan foydalangan holda ifodalanadi. Elektr zanjirlar nazariyasida kommutasiya qonunlaridan ma'lum bo`lgan boshlang`ich shartlar shunday bo`ladi.
Birinchi va ikkinchi moddiy muhitlar oralig`ida elektrodinamik parametrlar ε1 va ε2 yoki μ1 va μ2 turlicha bo`lgan sirt - chegara mavjud. Muhitlar deelektrik parametr - ε , magnit parametr - μ , elektr o`tkazuvchanlik - ζ bilan yoki bir vaqtning o`zida barcha parametrlar bilan farqlanishi mumkin. 4.1. rasm. Dielektriklar bo`linish chegarasidagi E vektorning tashkil etuvchilari EMM ikki muhit chegarasidan o`tganda ba'zi maydon vektorlarining proeksiyalari sakrashlar bilan o`zgaradi, ba'zilari esa o`zgarishsiz qoladi. Vektorlarning tashkil etuvchilari bo`lib, chegaraning ustki va ostki sirt nuqtalaridagi lη urinmaga, hamda 1n normalga proeksiyasi hisoblanadi. Bu nuqtalar sirtga juda yaqin. 4.1- rasmda birinchi va ikkinchi muhitning 1 va 2 nuqtalarida E vektorning tashkil etuvchilari ko`rsatilgan bo`lib, E1n va E2n - normal, E1η va E2η urinmaviy (tangensial) tashkil etuvchilari deyiladi.
Chegara harakteri chegaraviy shartlarning mazmunini aniqlaydi. Umumiy holda chegaraviy sirtda tashqi elektr zaryadlar (masalan doimiy elektr maydondagi metall tekislikda) yiqilishi yoki tashqi elektr toki oqib o`tishi mumkin. Yuzadagi tok va zaryadlar cheksiz yupqa qatlamga jamlangan hisoblanadi. Ya'ni Kl/m3 o`lchamdagi q zaryadning hajmiy zichligi Kl/m2 o`lchamdagi qs ga, tok zichligi esa I (A/m2 ) - Is (A/K) ga aylanadi. Faqat o`ta yuqori o`tkazuvchanlikka ega bo`lgan sirtdagi o`zgaruvchan elektromagnit maydonda Is noldan farq qiladi. 1.Sirt zaryadlariga ega bo`lgan bo`linish chegarasidagi D vektorning tashkil etuvchi normallari uchun shart quyidagi ko`rinishga ega: D1n- D2n= ρs , (4.1) ya'ni, maydon bir muhitdan boshqasiga sakrashlar bilan o`tganda s miqdorga o`zgaradi. Agar yuza zaryadlari bo`lmasa (masalan, dielektrik muhitlar chegarasida). U holda ρs=0, tenglama esa D1n = D2n (4.2) bo`ladi. Shunga ko`ra bu vaziyatda mayonning Dn ni o`zgarmaydi, ya'ni u uzluksiz miqdor bo`lib qoladi. 2. H vektorni urinmaviy tashkil etuvichlari uchun shartlar. Sirt toklari mavjud bo`lgan chegarada quyidagi shart kuzatiladi : , 1 2 S H  H  J   (4.3) agar sirt toklari mavjud bo`lmasa, H1 = H2 (4.4) 3. B vektorning normal tashkil etuvchilari uchun shartlar. Har qanday turdagi chegaralarida maydonning bir muhitdan boshqasiga o`tishida Vn sakrashlar bilan o`zgarmaydi, ya'ni В1n =B2n. (4.5) 4. E vektorining urinmaviy tashkil etuvchilari uchun shartlar. 5. 4.1-rasmda ko`rsatilganidek, EMM ning chegaradan o`tish vaqtida bevosita yaqinlikdagi chegaraning usti va ostidagi E1 va E2 vektorlar uzunligi va yo`nalishi bo`yicha ham bir-biridan farq qiladi. Ammo ularda tekislikka yurgizilganurunmaning proeksiyalari o`zgarmas, ya'ni E1η = E2η . (4.6) Bu chegara shartlar istalgan chegara uchun to`g`ri bo`lib, u muhitning bo`linish chegaralarida Eη uzliksizligini ko`rsatadi. Qolgan barcha chegaraviy shartlar elektrodinamikaning moddiy tenglamalaridan foydalangan holda keltirib chiqariladi. Masalan, (4.6) va (1.4) dan quyidagiga ega bo`lamiz: 2 2 1 1 a a D D      (4.7) yoki 2 1 2 1      D D shu tariqa (4.2) dan quyidagini olamiz 2 1 2 1    n n E E

Birinchi va ikkinchi moddiy muhitlar oralig`ida elektrodinamik parametrlar ε1 va ε2 yoki μ1 va μ2 turlicha bo`lgan sirt - chegara mavjud. Muhitlar deelektrik parametr - ε , magnit parametr - μ , elektr o`tkazuvchanlik - ζ bilan yoki bir vaqtning o`zida barcha parametrlar bilan farqlanishi mumkin.

EMM ikki muhit chegarasidan o`tganda ba'zi maydon vektorlarining proeksiyalari sakrashlar bilan o`zgaradi, ba'zilari esa o`zgarishsiz qoladi. Vektorlarning tashkil etuvchilari bo`lib, chegaraning ustki va ostki sirt nuqtalaridagi lη urinmaga, hamda 1n normalga proeksiyasi hisoblanadi. Bu nuqtalar sirtga juda yaqin. 4.1- rasmda birinchi va ikkinchi muhitning 1 va 2 nuqtalarida E vektorning tashkil etuvchilari ko`rsatilgan bo`lib, E1n va E2n - normal, E1η va E2η urinmaviy (tangensial) tashkil etuvchilari deyiladi.
Chegara harakteri chegaraviy shartlarning mazmunini aniqlaydi. Umumiy holda chegaraviy sirtda tashqi elektr zaryadlar (masalan doimiy elektr maydondagi metall tekislikda) yiqilishi yoki tashqi elektr toki oqib o`tishi mumkin. Yuzadagi tok va zaryadlar cheksiz yupqa qatlamga jamlangan hisoblanadi. Ya'ni Kl/m3 o`lchamdagi q zaryadning hajmiy zichligi Kl/m2 o`lchamdagi qs ga, tok zichligi esa I (A/m2 ) - Is (A/K) ga aylanadi. Faqat o`ta yuqori o`tkazuvchanlikka ega bo`lgan sirtdagi o`zgaruvchan elektromagnit maydonda Is noldan farq qiladi
1.Sirt zaryadlariga ega bo`lgan bo`linish chegarasidagi D vektorning tashkil etuvchi normallari uchun shart quyidagi ko`rinishga ega: D1n- D2n= ρs , (4.1) ya'ni, maydon bir muhitdan boshqasiga sakrashlar bilan o`tganda s miqdorga o`zgaradi. Agar yuza zaryadlari bo`lmasa (masalan, dielektrik muhitlar chegarasida). U holda ρs=0, tenglama esa D1n = D2n (4.2) bo`ladi. Shunga ko`ra bu vaziyatda mayonning Dn ni o`zgarmaydi, ya'ni u uzluksiz miqdor bo`lib qoladi.