1. Fazoviy о‘zgaruvchilari uchga teng bо‘lgan hol. Kechikuvchi potensial

2. Fazoviy о‘zgaruvchilari soni ikkita va bitta bо‘lgan hol. Xuddi yuqoridagidek, (5) formulaga asosan

funksiya (15) tenglamaning

shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bо‘lgani uchun ushbu
(6)
ifoda, bunda
(7)
tenglamaning

shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidan iborat bо‘ladi. Xuddi shunga о‘xshash bir jinsli bо‘lmagan
(8)
tor tenglamasi uchun nolga teng bо‘lgan boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechim
(9)
(7), (8) tenglamalarda va demak (6), (9) formulalarda funksiyalar, mos ravishda ikkinchi va birinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega deb hisoblanadi.
3.Koshi masalasi yechimini beradigan formulalar. Uch о‘lchovli
(10)
tо‘lqin tenglamasini tekshiramiz va uning
(11)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini izlaymiz.
Berilgan funksiya uchinchi tartibgacha, esa ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega deb hisoblaymiz.
Markazi nuqtada va radiusi bо‘lgan sferani orqali belgilab olamiz.
Agar da berilgan ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya bо‘lsa,
(12)
integral (10) tenglamaning yechimi bо‘ladi hamda

shartlarni qanoatlantiradi.
о‘zgaruvchilar о‘rniga formulalar orqali yangi о‘zgaruvchilarni kiratamiz. lar sfera radiuslarning yо‘naltiruvchi kosinuslari, ya’ni

bunda burchak 0 dan gacha, burchak esa 0 dan gacha о‘zgaradi. nuqta sferani chizganda nuqta markazi koordinata boshida va radiusi birga teng bо‘lgan birlik sferani chizadi, shu bilan birga

Bunga asosan, (12) integralni

kо‘rinishda yozib olamiz. Bundan darhol

ekanligi kelib chiqadi. ni hisoblaymiz:

Oxirgi formuladan

bо‘lishiga ishonch hosil qilamiz.
Endi funksiyaning (10) tenglamani qanoatlantirishini kо‘rsatamiz.
Shu maqsadda ni ushbu

kо‘rinishda yozib olamiz. sfera bilan chegaralangan sharni orqali belgilab, Gauss-Ostrogradskiy formulasini qо‘llaymiz

shar bо‘yicha olingan integralni orqali belgilab, ushbu

tenglikka ega bо‘lamiz. Bundan

ning ifodasini e’tiborga olib,

tenglikni hosil qilamiz. ning ifodasida dekart koordinatalaridan sferik koordinatalarga о‘tamiz:

Ushbu

tenglikni e’tiborga olsak, quyidagi kо‘rinishga ega bо‘ladi:

Bu ifodadan, darhol

tenglikka ega bо‘lamiz.
Demak,
(13)
Ikkinchi tomondan (12) ga asosan
(14)
(13) va (14) tengliklardan (12) formula bilan aniqlangan funksiyaning (10) tenglamani qanoatlantirishi kelib chiqadi.
Endi ni orqali belgilab olamiz, ya’ni

Agar funksiya sferada uch marta uzluksiz differensiallanuvchi bо‘lsa, funksiya (10) tenglamani va

shartlarni qanoatlantiradi.
Avval da ekanligini kо‘rsatgan edik. Ma’lumki,

ekanligini e’tiborga olsak, oldingi tenglikdan

bо‘lishi darhol kelib chiqadi.
funksiyaning (10) tenglamani qanoatlantirishini kо‘rsatish uchun

ifodani e’tiborga olib, ni quyidagi kо‘rinishda yozib olamiz:

Bundan

(14) tenglikka asosan

Bundan

tenglikka ega bо‘lamiz.
Oxirgi tengliklardan funksiyaning (10) tenglamani qanoatlantirishi darhol kelib chiqadi.
Berilgan boshlang‘ich shartlardagi va funksiyalarga qо‘yilgan talablarga kо‘ra, yuqorida isbotlanganlarga asosan ushbu
(15)
formula bilan aniqlangan funksiya (10)-(11) Koshi masalasining yechimidan iboratdir.
(14) formula Krixgof formulasi deyiladi.
Dalamber formulasini tekshirganda aytganimizdek, tо‘lqin tenglamasining yechimi bilan tasvirlanuvchi fizik hodisa tо‘lqinning tarqalashi, yechimning о‘zi esa tо‘lqin deyiladi.
Tushush metodi. Agar Kirxgof formulasidagi boshlang‘ich funksiyalar va , о‘zgaruvchiga bog‘liq bо‘lmaydi. Bu holda funksiya
(16)
tenglamaning yechimlaridan iborat bо‘ladi. Boshlang‘ich funksiyalar о‘zgaruvchiga bog‘liq bо‘lmagani uchun (15) formuladagi sfera bо‘yicha olingan integrallarni, bu sferaning tekislik bilan kesishishi natijasida hosil bо‘lgan doira bо‘yicha olingan integrallar bilan almashtirish mumkin.
Sferaning markazi nuqtalarda bо‘lgani uchun uning tenglamasi

kо‘rinishda bо‘ladi. Yuqori yarim sferaning ga proyeksiyasini tushiramiz, bunda

Ma’lumki, sfera yuzi elementi ning doiradagi proyeksiyasi

formula bilan ifodalanadi, bunda sferaning nuqtadagi normali. ni hisoblaymiz:

Demak,

Quyi yarim sferaning ham xuddi shunga о‘xshash ga proyeksiyasini tushiramiz. Natijada, (15) formuladan
(17)
kelib chiqadi, bunda .
(17) tenglik Puasson formulasi deb ataladi.
Agar va boshlang‘ich shartlar faqat bitta fazoviy о‘zgaruvchiga bog‘liq bо‘lsa, (15) formuladan

tenglama uchun

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechim kelib chiqadi.
Haqiqatan ham, (17) formulada va о‘zgaruvchilar о‘rniga va о‘zgaruvchilarni formulalar orqali kiritsak, doiraning tenglamasi dan iborat bо‘ladi. Bu holda (17) formuladan quyidagi tenglik hosil bо‘ladi:





Bizga ma’lum bо‘lgan Dalamber formulasi hosil bо‘ladi.
Tо‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasining yechimini beruvchi yuqorida hosil qilingan formulalar boshlang’ich funksiyalarni aniq funksiyalarga kо‘paytirish natijasida hosil bо‘lgan ifodalardan olingan integrallar va bunday integrallardan vaqt bо‘yicha olingan hosilalardan iborat.
bо‘lganda integrallar faqat boshlang‘ich funksiyalardan olingan. Bu holda Koshi masalasi yechimining boshlang‘ich shartlarga uzluksiz bog‘liqligini kо‘rsatgan edik. Xuddi shunga о‘xshash, (15), (17) formulalarda boshlang‘ich va funksiyalarni yetarlicha kichik о‘zgartirsak, yechimning ham yetarlicha kichik о‘zgarishiga ishonch hosil qilish qiyin emas, ya’ni yechimning boshlang‘ich shartlarga uzluksiz bog‘liq bо‘lishiga ega bо‘lamiz.


Mavzuni mustahkamlash uchun savollar:
1. To‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi qo‘ying.
2. To‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimini n=1 yozing.
3. To‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimini n= 2 (Puasson formulasi) yozing.
4. To‘lqin tenglamasi uchun Kirxgof formulasi yozing.