1. Fazoviy о‘zgaruvchilari uchga teng bо‘lgan hol. Kechikuvchi potensial

6-mavzu. To’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasining yechimini yagonaligi. Koshi masalasi yechimini beradigan formulalar va ularni tekshirish. Gyuygens prinsipi.


1. Fazoviy о‘zgaruvchilari uchga teng bо‘lgan hol. Kechikuvchi potensial. Ushbu
(1)
tenglamaning

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Bu Koshi masalasining yechimini kо‘rinishda izlaymiz, bunda funksiya (10) tenglamaning (11) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bо‘lsin. Bunday birdan-bir funksiya mavjud bо‘lib, u Krixgof formulasi bilan aniqlanadi. Bu holda funksiya (1) tenglamani va boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradi. Shuning uchun, boshlang‘ich shartlarni avvaldanoq nolga teng, ya’ni
(2)
deb hisoblashimiz mumkin.
Shunday qilib, asosiy masala (1) tenglamaning (2) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishdan iborat. Bu masalaning yechimini topish uchun quyidagi yordamchi masalani tekshiramiz. (10) tenglamaning ushbu
(3)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Bu yerda vaqtning boshlang‘ich momenti uchun emas, olinayapti, bunda biror parametr. (10), (3) masalaning yechimi Krixgof formulasi bilan ifodalanadi. ni bilan almashtirib ni e’tiborga olib, sferadan birlik sferaga о‘tsak, bu formula

kо‘rinishda bо‘ladi.
(29), (30) masalalarning yechimi
(4)
formula bilan aniqlanishiga ishonch hosil qilish qiyin emas.
Haqiqatan ham,

Bu tenglikdan darhol

bо‘lishi kelib chiqadi.
Endi (4) formula bilan aniqlangan funksiyaning (1) tenglamani qanoatlantirishini kо‘rsatamiz:

Bu ikki tenglikdan, funksiya (10) tenglamaning yechimi bо‘lgani uchun funksiyaning (1) tenglamani qanoatlantirishi kelib chiqadi. Shunday qilib,

tenglikka ega bо‘ldik.
dan da bо‘lishini, hamda larni e’tiborga olsak, avvalgi tenglik quyidagi kо‘rinishda yoziladi:

sfera bilan chegaralangan sharni orqali belgilaganimizni esga olsak, avvalgi formula ushbu
(5)
kо‘rinishga ega bо‘ladi.
(4) formuladagi funksiyada tо‘lqinni ko’zatuvchi vaqtdan orqada qoluvchi vaqtning qiymati qatnashayotgani uchun (4) ifoda kechikuvchi potensial deyiladi.