1. Kirish Splayn funksiya haqida tushuncha

1. Kirish Splayn funksiya haqida tushuncha


1. Kirish

2. Splayn funksiya haqida tushuncha.
Interpolyatsion kubik splaynlar interpolyatsiyalanayotgan ob’ektga yaxshi yaqinlashadi va qurilish sodda ko’rinishda bo’ladi. Qurilayotgan splayn darajasi tugun nuqtalarga bog’liq emas. Qurilayotgan splayn funksiya [a,b] oraliqda emas, balki [x_i,x_i+1] (i=0, n-1) oraliqlarda quriladi va bu splayn funksiya har bir oraliqlarda bir xil strukturali ko’phadlardan iborat bo’ladi.
Ulanish tugun nuqtalarida funksiya va uning hisoblarining ham uzluksizligi talab qilinadi. Shuning uchun
[x_i,x_i+1] (i=0, n-1) barcha oraliqlarda qurilgan splayn funksiyalar ulanib butun [a,b] oraliqda silliq bir splayn funksiyani beradi.
Klassik interpolyatsiyalashda esa butun bir [a,b] oraliqda 1 ta funksiya qurilar edi. Shuning uchun ham klassik interpolyatsiyalashga nisbatan splayn funksiyalar yordamida qaralgan interpolyatsiyalash masalasining silliqlik darajasi yuqori va qurilishi jihatidan ham sodda bo’ladi. (i=0, n-1) [x_i,x_i+1] oraliqlarda qurilgan silliq bo’lakli kophadli funksiyalarga splayn funksiyalar deyiladi.
Hisoblash matematikasining yaqinlashish nazariyasida splayn funksiyalar qo’llanilishi 1946 – yil Shonberg tomonidan “Splayn” so’zi fanga kritilgandan boshlangan bo’lib, 50-yillardan keyin juda tez rivojlangan.
Funksiyalarni interpolyatsiyalash masalasida klassik polinomlar orqali interpolyatsiyalash masalsiga yaxshi ekanligini ko’rsatadi.
Ushbu ishda Ermit interpolyatsion kubik splayn yordamida kvadratur formula quriladi. Ermit interpolyatsion kubik splayni qurilishida funksiyaning hamda bu funksiyaning hosilasining tugun nuqtalardagi qiymatlari berilgal holda qurildi.

3
Polinomial interpolyatsion splayn funksiya o’zining:

1. Interpolyatsiya ob’ektiga yaxshi yaqinlashuvchanligi;
2. Qurilishi sodda va EHM algaritmini tuzish juda soddaligi bilan ajralib turadi.
Shuning uchun interpolyatsiyalash masalasida splayn funksiyalarni qo’llanilishi hisoblash matematikas fanida dolzarb basalalar hisoblanadi.
Splayn funksiyalar kvadratur yordamida qurilgan kvadratur formulalaning xatoligininng bahosi ham klassik interpolyatsion kvadratur formulalarning xatoligining baholaridan ancha kichik bo’ladi. Ushbu ishda qaralgan kvadratur furmula Ermit interpolyatsion kubik splayni yordamida qurilganligi uchun bu kvadratur formulning xatoligini C[a,b]-uzluksiz funksiyalar sinfida baholab bo’lmaydi. Chunki Ermit interpolyatsion kubik splayni asosida qurilganligi sababli bu kvadratur formula ham f(x) funksiyaning hosilasini qiymatlari qatnashganligi uchun uzluksiz funksiyalar sinfida bu kvadratur formulaning xatoligini baholab bo’lmaydi. Shuning uchun ushbu kvadratur formulaning xatoligini C^k[a,b] sinfda baholashni ko’rib chiqamiz.
Xisoblash metodikasining yaqinlashish nazariyasi yo’nalishida qilinadigan ilmiy natijalar fan texnika rivojlanishining juda ko’p sohalarda qilinadi Aerodinamika , Gidrodinamika , Geologiya , Gedrotexnika va boshqa bir qancha texnika yo’nalishlarida funksiyalarni tiklash va qo’yilgan masalalarni joylashishini yaratishda funksiyalarni tiklash funksiyaga yaqinlashtrish borasida ko’plab metodlar yaratgan.
Hozirgi fan texnikaning rivojlangan davrida Splayn funksiyalarning qurilishi va uning tadbiqi xisoblash matematikasi faning dolzarb masalalaridan xisoblanadi. Splayn funksiyalarning qurilishida quyilgan shartlarni xolatiga qarab splayn funksiyalar defektini 1, defekti 2ga teng v x k splayn funksiyalarning nuqtalari ko’rsatiladi.
Defekti 1 da teng splayn funksiya yaxshi yaqinlashuvchi splayn funksiya hisoblanadi va bu splaynlarning qo’llanilishi eng yaxshi natijalarni beradi.

Splayn funksiyaning ta’rifi va defektining ta’rifini kiritamiz splayn n-chi tartibli interpolyatsion splayn diyiladi. Agarda quydagi shartlar bajarilsa;

1)

2)

3) n-chi tartibli interpolyatsion splaynni defekti orqali aniqlanadi. N-chi tartibli interpolyatsion splaynni defekti 1ga teng diyiladi.

Agarda m=n-1 bo’lsa ya’ni (n-1)=1 interpolyatsion kubik splaynni ta’rifi va defekti haqida defekti 1ga teng bo’lgan interpolyatsion kubik splayn diyiladi.

Agarda quydagi shartlar bajarilsa

1)

2)

3)

Bu yerda defekti =3-2=1
Defekti 1ga teng bo’lgan unterpolyatsion splaynlar yaqinlashuvchi obektga eng yaxshi yaqinlashuvchi bo’lib taqbiqi juda yaxshi natijalar beradi.Shu nuqtai nazardan ushbu ishni Defekti 1ga teng bo’lgan interpolyatsion kubik splayn qurish masalasi qo’yilgan.

[a,b] oraliqda teng uzoqlikda tugun nuqtalar berilgan.

Bu erda tugun nuqtalar bilan to’ldirigan to’r bo’ladi quydagi to’rda f(x) funksiyaning qiymatlari berilgan bo’lsin

Ushbu qiymatlarga asoslangan holda local kubik splayn qurishni qaraymiz splayn funksiya tipga f(x) funksiyani interpolyatsiyalovchi funksiya hisoblanadi.

Quydagi mos 3ta nuqtalardan o’tuvchi



2ta parabolani quramiz, splayn funksiyalarni qurish uchun :

Quydagi almashtrib bajarib ma’lum ixchamlashlardan so’ng

quydagiga ega bo’lamiz .
Endi bu parabolalarning quydagi chiziqli kambinatsiyasini olamiz:

Bu erda koefsentlari topish uchun hamda 1-chi, hamda 2-chi tartibli hosilalarni tugun nuqtalardagi ulanish shartlarni foydalangan holda m topiladi va quydagi tenglamalr sestemasi hosil bo’ladi

ma’lum bir soddalashtirishlardan keyin sistema quyidagi ko’rinishga keladi.

Ushbu tenglamalar sistemasi echilib koeffisentlar topiladi va biz ko’rayotgan defekti 1ga teng bo’lgan interpolyatsion ko’bik splayn quriladi.

I
Hisoblash matematikasida (funksiyalarni yaqinlashtirish bo’limida ) lokal splaynlarning qo’llanilishi tez orada rivojlanib ketdi.

Ayniqsa regulyar, singulyar Fur’e integrallarini taqribiy hisoblashda lokal splaynlarning qo’llanilishi yaxshi natijalar bermoqda lokal splaynlar yordamida effektov kvadratur formulalar ko’rilib , bu kvadratur formulalar yordamida juda ko’p ahamiyatga ega bo’lgan regulyar, singulyar va Fur’e integrallari hisoblanmoqda .

Bu kabi lokal splaynlarga Ryabeniy va Grebenninov splaynlari misol bo’la oladi . quydagi qaralayotgan splayn xam lokal splayn bo’lib maksimal aproksimatsiya tartibi o( ) Ryabeniy va Grebenninovlarni maksimal apraksimatsiya tartibi ccga teng. Bu holatni prilojeniyada tipik misollarda ko’rsatganmiz Ryabeniy va Grebenninov splaynlari hamda qaralayogan splayn funksiyalarni berilgan f(x) grafigi bilan solishtirganda kvadrat funksiya grafigi bilan bizni qarayotgan splayn funksiyaning grafigi ustma ust tushadi. Ryabeniy va Grebenninov splaynlarini grafiklari esa kvadrat funksiya grafigi bilan ustma-ust tushmaydi.

Qaralayotgan splayn yordamida qurilgan kv.f kvadrat funksiya aniq integrallaydi. Ryabeniy va Grebenninov splaynlari yordamida qurilgan kv formulalar esa kvadrat funksiyani aniq integrallamaydi.shuning uchun u splaynlarning maksimal apraksimatsiya tartibi o( ) ya’ni chiziqli funksiyani aniq integrallaydi. Qaralayotgan splaynni maksimal apraksimatsiya tartibi o( ) ya’ni kvadra funksiyani aniq integrallaydi.

Defikti 1ga teng bo’lishi uchun quydagi 4ta shartni qanoatlantrish kerak



x=x t= i->i+1ga o’tsak t->t ga o’tar ekan

demak biz endi (4) tenglamani hosil qilishimiz kerak hosil qilish kerak

Bundan va o’tsak

demak defekti 1ga splayn bo’lishi uchun 4ga teng qanoatlantiradigan , echimlarni topishimiz kerak



; ;

O’rniga qo’sak

U holda (3),(4) tenglama



O’rniga qo’ysak


II

splaynning koefitsienti 1 bo’lishi uchun quyidagi 4 ta (tenglamadan tuzilgan) shartni qanoatlantirishi kerak.

(3)

(4)


(4)

U holda

I. II.






Faraz qilaylik: , , , ,

bo’lsin

, ,

nuqtadan o’tuvchi parabola (1)

nuqtadan o’tuvchi parabola (2)
(1), (2) parabolalardan o’tuvchi splayn quyidagicha tuziladi.




, , ,



4-1+2=5 a=-1 b=4


y=2, x=2

4a+2b+c=2

x=1, y=1

a+b+c=1

(2’) (3’)

(2’) (1) dan

larni topish uchun

1) ,