Tekshirish uchun savollar.
Chiziqli tenglamaning umumiy uo’rinishi.
Bir jinsli qismi.
Chiziqli tenglamani yechishni o’zgarmasni variatsiyalash usuli.
Chiziqli tenglamani yechishni o’rniga qo’yish usuli.
Chiziqli differensial tenglama deb nimaga aytiladi?
Chiziqli differensial tenglamalarni yechishning Lagranj usuli?
Chiziqli differensial tenglamalarni yechishning Bernulli usuli?
4-MA’RUZA:
Bernulli tenglamasi. To’liq differensialli tenglamalar. Integrallovchi ko’paytuvchi. R e j a
Bernulli tenglamasi.
To’liq differensial tushunchasi.
3. To’la differensialli tenglamalar tushunchasi.
4. .Eyler –Dalamber sharti.
5. Integrallovchi ko’paytuvchi haqida tushuncha.
Bernulli tenglamasi.
Ushbu
+p(x)y=f (x)yn (n0,1) (1)
ko’rinishdagi tenglama Bernulli tenglamasi deyiladi.
Bernulli tenglamasini chiziqli tenglamaga keltirish mumkin. Buning uchun (1) ni yn ga bo’lamiz, u holda
y-n +p(x)y1-n=f (x) (2)
tenglamani olamiz. Bunda
y1-n=z (3)
almashtirish bajaramiz.( 3) ni (2) ga qo’yish uchun ni topamiz. Ya’ni (3) dan hosila olib,
(4)
Endi (3) va (4) ni (2) ga qo’yamiz
yoki
Bu chiziqli tenglama, ushbu chiziqli tenglamani yuqoridagi usulda yechib, so’ng yana (x,y) o’zgaruvchilarga o’tsak Bernulli tenglamasining yechimi quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladi.
(5)
MISOL: tenglamani yeching. Bu Bernulli tenglamasi bo’lib n=2, ‘(x)= , f(x)= . Tenglamani y2 ga bo’lib yuboramiz
Bu yerda y-1=z ( ) almashtirish qilamiz, hosila olsak, va tenglamaga qo’yamiz
soddalashtirsak
.
Bu chiziqli tenglamani o’zgarmasni variatsiyallash usulida yechib
echimga ega bo’lamiz. u o’zgaruvchiga o’tsak
umumiy yechim hosil bo’ladi.
ESLATMA: Bernulli tenglamasini yn ga bo’lganda (n>0) yechim yo’qotishimiz mumkin. Shuning uchun n>1 da y=0 yechimni (15) formuladan c= bo’lganda olish mumkin, bu xususiy yechim bo’ladi. Agar 0<n<1 bo’lsa y=0 yechim (14) formuladan kelib chiqmaydi va maxsus yechim bo’ladi.
Bizga
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1)
ko’rinishidagi tenglama berilgan bo’lsin. Bunda M(x,y), N(x,y) funksiyalar biror D to’plamda aniqlangan va uzluksiz .
Agar (1) tenglamani chap tomoni biror F(x,y) funksiyani to’liq differensiali bo’lsa, ya’ni
dF=M(x,y)dx+N(x,y)dy
u holda (1) tenglama to’liq differensialli tenglama deyiladi.
Faraz qilaylik (1) tenglama to’liq differensialli tenglama bo’lsin, u holda
M(x,y)dx+N(x,y)dy=dF=
tenglik o’rinli. Bundan esa
=M(x,y), =N(x,y)
ekanligi kelib chiqadi. So’ngi tengliklarni mos holda y va x bo’yicha differensiallaymiz
(3)
Matematik analiz kursidan ma’lumki aralash hosilalar uzluksiz, u holda hosila olish tartibiga bog’liq bo’lmaydi. Shuning uchun (3)ni chap tomonlari teng bo’ladi. Demak, o’ng tomonlari ham teng
(4)
(4) shart (1) tenglamani to’liq differensialli tenglama bo’lishi uchun zaruriy va yetarli shart bo’lib Eyler-Dalamber sharti deb ataladi.
(1) tenglamani integrallash quyidagicha amalga oshiriladi. (3)ni birinchi ayniyatini olib x bo’yicha integrallaymiz, ya’ni
=M(x,y)
(5)
x0 – D sohadan olingan biror nuqta. Bundan y bo’yicha hosila olamiz
yoki M(x,y) funksiya aniqlangan soha bir bog’lamli bo’lganligi uchun hosila bilan integral tartibini almashtirish mumkin
(3)ni ikkinchi tengligidan foydalanib , o’rniga N(x,y) qo’yamiz
Bu yerda (4) tenglikdan foydalansak ,
tenglik o’rinli bo’ladi. Integrallab
N(x,y)-N(x0,y)+ =N(x,y)
topamiz. Bundan esa
=N(x0,y)
yoki integrallab
(6)
formulaga ega bo’lamiz, c1=const, (u) ni ifodasini (5) ifodaga qo’yib,
ko’rinishda izlanayotgan funksiyani topamiz. Bu formulada c1=0 deb, quyidagi ko’rinishda yozamiz.
(7)
(7) ifoda (1) tenglamaning umumiy integralini ifodalaydi.
ESLATMA: (3) tenglikni ikkinchi tengligini olib u bo’yicha integrallab, yuqoridagi ishlarni bajarsak, u holda umumiy integral
ko’rinishda bo’ladi.
MISOL: (x3+y)dx+(x-y)dy=0
M= x3+y, N= x-y, ,
(4) shart bajarildi
Fx=M= x3+y, Fy=N= x-y
deb olsak, u holda (7) formuladan foydalanib
integrallab quyidagini topamiz.
yoki
Bu berilgan tenglamaning umumiy integrali.
Yuqorida to’liq differensialli tenglama to’g’risida fikr yuritdik, agar Eyler-Dalamber sharti bajarilmasa, u holda tenglama to’liq differensialli bo’lmaydi. Ba’zi hollarda tenglamani to’liq differensialli tenglamaga keltirish mumkin.
Agar (1) tenglamaning chap tomoni to’liq differensialli bo’lmasa shunday (x,y)0, (x,y)D funksiya topish mumkinki, tenglamaning chap tomonini shu funksiyaga ko’paytirilsa, to’liq differensialli tenglama hosil bo’ladi, ya’ni
dF= Mdx+ Ndy (8)
Shunday xossaga ega bo’lgan (x,y) funksiyaga integrallovchi ko’paytuvchi deyiladi.
F(x,y) funksiyaga
M (x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9)
tenglamaning integrali deyiladi
Faraz qilaylik, M va N funksiyalar My,Ny hosilalari bilan uzluksiz, u holda Eyler-Dalamber shartiga ko’ra
(10)
tenglik o’rinli, bundan ko’rinadiki, M, N lar birinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz. (10) ni yoyib yozasak.
yoki
(11)
ko’rinishga keladi. Bu (x,y) funksiyaga nisbatan xususiy hosilali birinchi tartibli tenglama bo’lib, bu tenglamani yechish oson emas. Shuning uchun ba’zi xususiy hollarini ko’rib chiqamiz.
1-hol: = (x) bo’lsin. U holda (4) da bo’ladi va
ko’rinishga ega bo’ladi. Bundan (N0 ) tenglikni olamiz.
ekanligidan foydalanib
belgilash kiritsak,
yoki
tenglamaga kelamiz. Uni integrallab
echimga ega bo’lamiz. c – ixtiyoriy o’zgarmas son ekanligidan c= 1 deb olsak
(12)
integrallovchi ko’paytuvchining (5) ko’rinishiga ega bo’lamiz.
(12) ni (9) ga ko’paytirsak, to’la differensialli tenglamaga kelamiz.
2-hol: = (y) bo’lsin, unda (4) tenglik
ko’rinishni oladi. Bunda
belgilash kiritib, 1-holdagi kabi fikr yuritib,
integrallovchi ko’paytuvchi ko’rinishini olamiz.
3-hol: = (w(x,y)) ko’rinishda bo’lsin. U holda (4) tenglik
ko’rinishga keladi. So’nggi tenglikdan
ifodani hosil qilib va ung tomonini (w) funksiya bilan belgilasak,
ko’rinishdagi integrallovchi ko’paytuvchini topamiz.
Xususiy holda agar w(x,y)=xy bo’lsa:
a) ga teng
(bunda )
b) agar w(x,y)=x+y bo’lsa,
ko’rinishda bo’ladi, (bunda )
ESLATMA: (x,y) integrallovchi ko’paytuvchini bilgan holda umumiy va maxsus yechimlar topiladi. Haqiqatdan ham (9) tenglama berilgan bo’lib, (x,y) uning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’lsa
dF= Mdx+ Ndy
tenglik o’rinli, bundan
(Mdx+Ndy)=dF
yoki
(Mdx+Ndy)=
buni (10) tenglamaga qo’ysak, =0 tenglikka ega bo’lamiz, hamda
=0, dF=0 (13)
tengliklarga kelamiz, (13)dan
F=c (c=const)
umumiy integralni va =0 dan maxsus yechimni olishimiz mumkin.
1>
Dostları ilə paylaş: |