1-Mavzu: Model va modellashtirish tushunchalari. Bilish jarayonida va insonning amaliy faoliyatida modellashtirish roli. Reja

5. Matematik modellashtirish bosqichlari. Matematik modelni tahlil qilish o’rganilayotgan hodisaning mohiyatiga singish imkoniyatini beradi. Hodisalarni matematik model yordamida o’rganish besh bosqichda amalga oshiriladi.
Birinchi bosqich. Model qurish. Bu bosqichda qandaydir berilgan “nomatematik” obyekt – tabiat hodisasi, konstruksiya, ijtimoiy jarayon, iqtisodiy reja, ishlab chiqarish jarayoni va h.k.larning asosiy qismlari yoki xossalarini bog’lovchi qonunlar ifodalanadi. So’ngra topilgan sifat qonuniyatlari matematik tilga tarjima qilinadi, ya’ni matematik qonuniyatlar va belgilashlar asosida matematik model quriladi. Bu modellashtirishning eng qiyin va muhim bosqichlaridan biri hisoblanadi.
Ikkinchi bosqich. Matematik masalani yechish. Bu bosqichda qurilgan matematik model keltirib chiqargan matematik masalalar (chiziqli tenglama, tenglamalar sistemasi, differensial yoki integral tenglamalar, rekurrent tenglamalar va h.k.) yechiladi. Bunda asosan masalani kompyuterda yechishga yordam beruvchi algoritmlar va sonli usullarni ishlab chiqishga katta e’tibor beriladi.
Uchinchi bosqich. Natijalarni interpretasiyalash. Bu bosqichda matematik modeldan kelib chiqqan natijalar masala qaralayotgan soha tilida interpretasiya qilinadi (o’tkaziladi).
To’rtinchi bosqich. Model adekvatligini tekshirish. Bu bosqichda modelning qabul qilingan amaliyot mezonlarini qanoatlantirishi aniqlanadi. Boshqacha aytganda, modeldan olingan nazariy natijalar bilan olingan obyektni kuzatish natijalari mos kelishi masalasi qaraladi.
Beshinchi bosqich. Modelni modifikasiyalash. O’rganilayotgan hodisa haqidagi ma’lumotlarni jamlash orqali modelning navbatdagi tahlilini o’tkazish va uni rivojlantirish, aniqlashtirish. Bunda model haqiqatga mos kelishi uchun murakkablashtirilishi yoki amaliy jihatdan qo’llashga qulay ko’rinishga keltirish uchun soddalashtirilishi mumkin.
Shunday qilib, matematik modellashtirishning asosiy mazmunini, obyektni dastlabki o’rganish asosida: modelni tajriba orqali va nazariy tahlil qilish, natijalarni obyekt haqidagi ma’lumotlar bilan taqqoslash, modelni tuzatish (takomillashtirish) va shu kabilar tashkil etadi. Bunday jarayonlarni tadqiq qilishning birinchi bosqichi ko’pincha jarayonni tavsiflovchi matematik tenglamani tuzishdan, ikkinchi bosqichi esa bu tenglamaning yechimini izlashdan iborat.
Differensial tenglamalarni (matematik modellarni) tuzish uchun to’la-to’kis qoidalar yo’q. Ko’p hollarda oddiy differensial tenglamalar nazariyasini qo’llab masalalarni yechish usuli quyidagi amallarni bajarishga keltiriladi:
1⁰. Masala shartlarini batafsil tahlil kilish va uning mohiyatini izohlovchi chizmani tuzish.
2⁰. Tekshirilayotgan jarayonning differensial tenglamasini tuzish.
3⁰. Tuzilgan differensial tenglamani integrallash va bu tenglamaning umumiy yechimini aniqlash.
4⁰. Berilgan boshlang’ich shartlar asosida masalaning xususiy yechimini aniqlash.
5⁰. Zarurat bo’lishiga karab, masalaning qo’shimcha shartlaridan foydalanib, yordamchi parametrlarni (masalan, proporsionallik koeffisiyenti va boshqalarni) aniqlash.
6⁰. Qaralayotgan jarayonning umumiy qonunini keltirib chiqarish va izlanayotgan miqdorlarni sonli aniqlash.
7⁰. Natijalarni tahlil kilish va masalaning dastlabki holatini tekshirish.
Masala xarakteriga bog’liq holda bu tavsiyalardan ba’zilari qatnashmasligi ham mumkin.
Differensial tenglamalar bo’yicha amaliy ijtimoiy masalalarni yechishda o’rganilayotgan jarayonlarning mohiyatini chuqur tushunish, ijodkorlik va malaka talab qilinadi.
Demak, matematik model tuzish uchun, dastlab masala rasmiylashtiriladi. Masala mazmuniga mos holda zarur belgilar va belgilashlar kiritiladi. So’ngra kattaliklar orasida formula yoki algoritm ko’rinishida yozilgan funksional bog’lanish hosil qilinadi. Aytib o’tilganlarni sodda bir misolda ko’rib chiqamiz.
O’ylagan sonni topish masalasi (matematik fokus). Talabalarga ixtiyoriy sonni o’ylash va u bilan quyidagi amallarni bajarish talab etiladi:
1. O’ylangan son beshga ko’paytirilsin.
2. Ko’paytmaga bugungi sanaga mos son (yoki ixtiyoriy boshqa son) qo’shilsin.
3. Hosil bo’lgan yig’indi ikkilantirilsin.
4. Natijaga joriy yil soni qo’shilsin.
Olib boruvchi biroz vaqtdan so’ng talaba o’ylagan sonni topishi mumkiligini ta’kidlaydi. Ravshanki, talaba o’ylagan son matematik fokusga mos model yordamida aniqlanadi. Masalani rasmiylashtiramiz: -o’quvchi o’ylagan son, -hisoblash natijasi, -sana, -joriy yil. Demak, olib boruvchining ko’rsatmalari:

formula orqali ifodalanadi.
Ushbu formula masalaning (matematik fokusning) matematik modeli bo’lib xizmat qiladi va o’zgaruvchiga nisbatan chiziqli tenglamani ifodalaydi.
Tenglamani yechamiz:
.
Ushbu formula o’ylangan sonni topish algoritmini ko’rsatadi.