1-Mavzu: Model va modellashtirish tushunchalari. Bilish jarayonida va insonning amaliy faoliyatida modellashtirish roli. Reja

6. Oddiy differensial tenglamalarga keltiriladigan masalalar. Quyida biz oddiy differensial tenglamalar nazariyasining amaliy masalalaridan ba’zilarini misol tariqasida ko’rib chiqamiz.
1. Populyasiya evolyasiyasi modeli. Ekologiyada, biologiyada tirik organizmlarning tashqi muhit bilan o’zaro munosabatini o’rganiladi. Ko’payish yoki turli sabablarga ko’ra nobud bo’lish bilan bog’liq bo’lgan populyasiyalarning ba’zi differensial modellarini keltiramiz. Vaqtning bir birligida populyasiyada tug’ilishlar sonini A, nobud bo’ladiganlari sonini V desak, yetarli asos bilan populyasiya soni x ning vaqtga bog’liq o’zgarish tezligini
(1)
formula bilan berish mumkin. Endi masala va ni ga bog’liqligini tavsiflashdan iborat.
a) Eng sodda hol, populyasiyalar evololyusiyasi masalasida agar populyasiya ajratilgan, ozuqa resurslari chegaralanmagan, ko’payish tezligi balog’atdagi jonzotlar mikdoriga proporsional deb hisoblansa
(2)
dan iborat, bu yerda va – vaqtning bir birligida tug’ilish va nobud bo’lish koeffisentlari. (2) ni hisobga olinsa, (1) ni
(3)
ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglamaning yechimi

bo’ladi, bu yerda – boshlang’ich momentdagi populyasiya soni (1) tenglamani 1802 yil Maltus birinchi bo’lib o’rgandi. Maltusning bu modeli kamchiligi shundan iboratki, bu tenglama populyasiyalarning juda tor sinfi uchun o’rinli bo’ladi. Maltus esa uni butun tabiat uchun, hatto kishilar jamiyati uchun ham universal qonun deb hisoblagan.
b) , hol ham uchraydi. Bunda
(4)
tenglama hosil bo’ladi. bo’lsa, yechim

dan iborat bo’ladi.
(4) tenglama 1845 yilda olingan Ferxyulst–Perl tenglamasidan iborat bo’lib, unda populyasiyadagi ichki kurash xisobga olinadi. Bu Maltusning (1) tenglamasiga nisbatan populyasiyaning rivojlanishini aniqroq tavsiflaydi.
2. Fan rivojlanishining ikki modeli. a) eng sodda modelda ilmiy asarlar chop etilish sonining o’sishi tezligi, chop etilganlar soniga proporsional deb faraz qilamiz:

bu yerda – momentdagi chop etilgan asarlar soni. Umumiy yechimi dan iborat. Boshlangich momentdagi chop etilish sonini desak, yechim

kabi bo’ladi. da da bo’ladi;


b) har qanday ilmiy yo’nalish uchun to’xtalish bosqichi bo’ladi.

tenglamani olaylik, , o’zgarmaslar, bo’lsa, bo’ladi va demak bo’ladi, ya’ni ning o’sishi to’xtaydi.
3. Reklama samaradorligini o’rganish masalasi. Bunda vaqt momentidagi sotilayotgan maxsulot haqida xabardor bo’lgan potensial xaridorlar soni uchun

differensial tenglama hosil bo’ladi, bu yerda barcha potensial xaridorlar, mahsulotdan xabardorlar soni, — mahsulotdan bexabarlar soni, – xabardorlar sonining o’zgarishi tezligi, kattalik va miqdorlarga proporsional deb hisoblanadi, proporsionallik koeffisenti. Tenglamaning umumiy yechimi

dan iborat, bu yerda , – o’zgarmas son.