1. Tekis kuch maydonining bajargan ishi

1. Egri chiziqli integralni mavjudligi. Biz ikkinchi tur integralni mavjud bo‘lishligining ba’zi yetarli shartlarini ko‘rib chiqamiz.
Aytaylik, to‘g‘rilanuvchi AB egri chiziq  tenglamalar bilan berilgan bo‘lib,  va  funksiyalar  oraliqda uzluksiz,  funksiya shu oraliqda uzluksiz hosilaga ega va parametrning  qiymatiga A nuqta,  qiymatida B nuqta mos kelsin (3-rasm).
funksiya uchun integral yig‘indini tuzamiz:

yig‘indini t o‘zgaruvchi orqali ifodalaymiz.
t parametning AB egri chiziqning  bo‘linish nuqtalariga mos kelgan qiymatlarini  bo‘lakchadan olingan  nuqtalarga mos kelgan qiymatlarni  orqali belgilaymiz, ya’ni,

va
.
U holda  integral yig‘indi quyidagi ko‘rinishni oladi:

funksiya har bir  oraliqda Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun  oraliqda biror  nuqta topilib,  tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu yerda  .
Bularga asosan integral yig‘indi  ni quyidagicha yozib olamiz:

Bu yig‘indida  bo‘lganda, u  funksiyaning integral yig‘indisini ifodalagan bo‘lar edi. Umuman olganda  va  lar turlicha bo‘lib, bu yig‘indi integral yig‘indini ifodalamaydi.
ayirmani  orqali belgilab,  yig‘indini quyidagicha yozib olamiz:
(1)
funksiya AB egri chiziqda,  funksiyalar  oraliqda uzluksiz bo‘lgani uchun (1) tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi qo‘shiluvchi  oraliqda uzluksiz bo‘lgan  funksiyaning integral yig‘indisi.
Demak, y  oraliqda integrallanuvchi, ya’ni  bu yerda  bo‘lakchalarning uzunliklarini eng kattasi.
(1) tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchi  da nolga intiladi. Haqiqatan,  funksiya  oraliqda uzluksiz bo‘lgani uchun u shu segmentda chegaralangan, ya’ni shunday K son topilib, ixtiyoriy  uchun
(2)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
funksiya  oraliqda uzluksiz bo‘lgani uchun u shu oraliqda tekis uzluksiz, ya’ni, har bir  uchun, shunday  son topilib,  bo‘lganda  tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
AB yoyni shunday  mayday bo‘laklarga bo‘laylikki, natijada  ayirma uchun  tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda  tengsizlik o‘rinli bo‘lib, bundan
(3)
tengsizlik kelib chiqadi.
(2) va (3) tengsizliklardan
tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan esa
(4)
kelib chiqadi.
(1) va (4) tengliklardan
(5)
tenglikni hosil qilamiz.
Shunga o‘xshash  funksiya AB yoyda uzluksiz,  funksiya  oraliqda uzluksiz  hosilaga ega bo‘lsa, u holda
(6)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Agar AB yoyda  va  funksiyalar uzluksiz,  va  funksiyalar  oraliqda uzluksiz  va  hosilalarga ega bo‘lsa, u holda  integral mavjud va ushbu formula o‘rinli:  . (7)