1. To‘plamlar va ular ustida amallar

2.3-misol: N  N to‘plamda :<х, у> : <u, v>  x + v = y + u munosabatni aniqlaymiz, bu yerda N–natural sonlar to‘plamidir. – munosabatning bu to‘plamda ekvivalentlik munosabati ekanligini isbotlang.
Yechimi:  munosabat refleksiv hisoblanadi, chunki <х,у><х,у> ekanligidan х + у = у + х tenglik o‘rinli.
Endi  munosabatning simmetrikligini isbotlaymiz. Buning uchun agar <х, у>  <u, v> bo‘lsa, u holda <u, v>  <х, у> ekanligini isbotlash lozim. Haqiqatdan, agar x + v = y + u bo‘lsa, u holda u + y = v + x tenglik o‘rinlidir.

 munosabatning tranzitivligini isbotlash uchun agar <х, у>  <z, t> va <z, t>  <u, v> bo‘lsa, u holda <х, у>  <u, v> ekanligini isbotlash zarur va yetarli. Bu quyidagi shartga tengkuchlidir:

_x  t 
y  z, _
x  v 
y  u


^ z  v  t  u ^.
Sistemadagi tenlamalarni qo‘shish yo‘li bilan

x  t  z  v 
y  z  t  u
ga ega bo‘lamiz. Tenglikni soddalashtirsak

x  v  y  u
isbotlaydi.
ga ega bo‘lamiz. Bu esa  munosabatning tranzitivligini

 munosabatning refleksiv, simmetrik va tranzitivligi uning ekvivalent munosabat ekanligini bildiradi.
2.4-misol: ^{A  1,2,3} to‘plamda ^{R  1,1 , 1,3 , 2,2 , 3,1 , 3,3 }
munosabat ekvivalentlikni ifodalashini isbotlang. Ko'rsatilgan ekvivalentlikni qaysi bo'lim belgilaydi?
Yechimi: R to‘plamda <1,1>, <2,2>, <3,3> jufliklarni mavjudligi uning refliksivligini bildiradi.

R munosabat simmetrik. Unga teskari bo‘lgan
_R 1
munosabatni

topib olamiz:
R ^1  1,1 , 1,3 ,
2,2 ,
3,1 ,
3,3 _.

R  R ^{1 simmetriklik shartidir.}

Endi R ²  R _-tranzitivlik shartini tekshiramiz.
R²  1,1 ,
2,2 ,
3,3 _,

ekanligidan,
R ²  R . Shunday qilib,
A  1,2,3
to‘plamda R–munosabat

ekvivalentlikdir.
Berilgan ekvivalentlikka mos bo‘laklashni aniqlash uchun 1,2,3 elementlardan tuzilgan ekvivalentlik sinfini aniqlaymiz:
1 x : 1, x R 1,3_;
2 ^x : ^2, x ^R^ ^2^;
3 x : 3, x R 1,3_.

Izlanayotgan bo‘laklash quyidagi ko‘rinishga ega:
1,3,
2.

2.5-misol: Ispan, Fransuz, va Nemis tillarini o‘rganayotgan 100 ta talabadan o‘tkazigan so‘rovnoma natijalari o'quv kurslarida o‘qiydigan talabalar soni bo‘yicha quyidagi xulosalarni berdi: ispan – 28, Nemis – 30, французский – 42, ispan va Nemis – 8, ispan va fransuz – 10, Nemis va fransuz – 5, har uchchala tilga ham o‘rganayotgan talabalar –3 nafarni tashkil etdi.
а) Qancha talaba birorta ham kursga qatnashmagan? б) Qancha talaba faqat fransuz tilini o‘rgangan?

в) Fransuz tili bilan shug‘ullanmasdan, faqat Nemis tili bilan shug‘ullanadigan talaba soni qancha?
Yechimi. Eyler-Venn diagrammasi aylanalarini Ispan, Fransuz, va Nemis tillarini o‘rganayotgan talabalar to‘plami shaklida tasvirlab olamiz. Hosil bo‘lgan sakkizta sohani masala shartida berilgan ma‘lumotlar bilan to‘ldiramiz. Natijalarni oxiridan boshlang‘ichiga qarab to‘ldirib boramiz.

Natijada quyidagi yechimlarga ega bo‘lamiz:

а) 20, b) 30, v) 25.
2.6-misol: Ispan, Fransuz, va Nemis tillarini o‘rganayotgan 100 talabadan o‘tkazigan so‘rovnoma natijalari o'quv kurslarida o‘qiydigan talabalar soni bo‘yicha quyidagi xulosalarni berdi: faqat Nemis tili – 18, Nemis tilini o‘rganayotgan, ammo ispan tilinini o‘rganmayotgan – 23, Nemis va fransuz – 8, Nemis – 26, fransuz – 48, fransuz va ispan – 8, hech bir tilni o‘rganmayotgan talabalar soni – 24 nafarni tashkil etdi.
а) Qancha talaba ispan tilini o‘rganayapti?
b) Qancha talaba faqat Nemis va ispan tilini o‘rganayapti?
v) Qancha talaba Nemis va ispan tilini o‘rganayapti?
g) Qancha talaba fransuz tilini ham ispan tilini ham o‘rganmagan?