10. Funksional qator yig‘indisining uzluksizligi

2⁰. Funksional qatorlarni hadlab integrallash. Faraz qilaylik, segmentda
(5)
funksional qator berilgan bo’lsin.
2-teorema. Aytaylik, (5) qator quyidagi shartlarni bajarsin:
1) qatorning har bir hadi segmentda uzluksiz,
2) qator segmentda tekis yaqinlashuvchi,
3) .
U holda

qator da yaqinlashuvchi va

bo’ladi.
◄ Berilgan funksional qatorning qismiy yig’ndisi

ni olamiz. Unda teoremaning 2) – va 3) – shartlariga ko’ra

bo’ladi. Tekis yaqinlashish ta’rifiga binoan
va da

tengsizlik bajariladi.
Teoremaning 1) – shartidan hamda yuqorida isbot etilgan 1-teoremadan foydalanib

integrallarning mavjudligini topamiz.
Ushbu

funksional qatorni qaraymiz. Bu qatorning qismiy yig’ndisi

bo’lsin. Ravshanki,
.
Demak,
.
Endi

funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchiligini ko’rsatamiz. Quyidagi

ayirma uchun

bo’ladi. Demak,
.
Bu esa

funksional qatorni da tekis yaqinlashuvchiligi va

bo’lishini bildiradi.►
Keltirilgan teoremaning shartlari bajarilganda teoremaning tasdig’ni quyidagicha

ifodalash mumkin.
3⁰. Funksional qatorlarni hadlab differenstiallash. Faraz qilaylik, segmentda
(6)
funksional qator berilgan bo’lsin.
3-teorema. Aytaylik, (6) funksional qator quyidagi shartlarni bajarsin:
1) qatorning har bir hadi segmentda uzluksiz hosilaga ega,
2) Ushbu

funksional qator da tekis yaqinlashuvchi,
3) nuqta mavjudki,

qator yaqinlashuvchi. U holda
a) funksional qator da tekis yaqinlashuvchi,
b) bu qatorning yig’ndisi

da uzluksiz hosilaga ega,
v)
bo’ladi.
◄ Ushbu
qatorning yig’ndisini bilan belgilaylik:
. (7)
Bu qator tekis yaqinlashuvchi va har bir hadi da uzluksiz. Yuqorida keltirilgan 2 – teoremaga ko’ra (7) ni hadlab integrallash mumkin:
,
bunda . Ayni paytda,
funksional qator da tekis yaqinlashuvchi.
Ravshanki,
.
Demak, qator tekis yaqinlashuvchi.
Shartga ko’ra

qator yaqinlashuvchi (uni da tekis yaqinlashuvchi deb qarash mumkin).
Shunday qilib
,
qatorlar da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Bundan esa bu qatorlarning yig’ndisi bo’lgan

funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. Shuni e’tiborga olib topamiz:
.
funkstiya, har bir hadi uzluksiz, o’zi tekis yaqinlashuvchi

qatorning yig’ndisi bo’lgani uchun 1-teoremaga ko’ra, da uzluksiz bo’ladi.
Unda keyingi tenglikdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Demak,

qator yig’ndisi uzluksiz hosilaga ega va

bo’ladi.►
Bu keltirilgan teoremaning shartlari bajarilganda uning tasdiqini quyidagicha yozish mumkin:
.
1-misol. Ushbu

funksional qatorning yig’ndisi topilsin.
◄ Ma’lumki,

funksional qator da tekis yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’ndisi

ga teng (qaralsin, 66-ma’ruza):
.
Ravshanki, bu qatorning har bir hadi da uzluksiz. Demak, uni 2 – teoremaga ko’ra hadlab integrallash mumkin:
.
Aniq integrallarni hisoblaymiz:
,
Demak, .►