10-ma’ruza. Binomial va Puasson taqsimotlari. Reja

10.2. Binomiy taqsimot

n ta mustaqil sinov o'tkazilsin, ularning har birida A hodisasi paydo bo'lishi yoki paydo bo'lmasligi mumkin. Barcha sinovlarda A hodisasining paydo bo'lishining p ehtimolligi doimiy bo'lib, sinovdan sinovga o'zgarmaydi. Keling, X tasodifiy o'zgaruvchisi sifatida ushbu sinovlarda A hodisasining sodir bo'lish sonini ko'rib chiqaylik. A hodisasining yuzaga kelish ehtimolini topishga imkon beruvchi formula n ta sinovda aynan k marta, ma'lumki, Behrnulli formulasi bilan tavsiflanadi

Bernulli formulasi bilan aniqlangan ehtimollar taqsimoti binomial deyiladi. Ushbu qonun "binomial" deb ataladi, chunki o'ng tomon Nyuton binomialining kengayishida umumiy atama sifatida qaralishi mumkin.

Binomial qonunni jadval shaklida yozamiz



Ushbu taqsimotning sonli shaxsiytikalarini topamiz.
DCВ uchun matematik kutilish

Nyuton binomi bo'lgan tenglikni yozamiz

Uni p bo’yicha diffrensiallab quyidagiga ega bo’lamiz
.
O’ng va chap tomonlarini p ko’paytirib quyidagiga ega bo’lamiz:
.
Учитывая, что p+q=1, ligini inobotga olsak

Demak, n ta mustaqil sinovda hodisalarning sodir bo‘lish sonining matematik kutilishi har bir sinovda hodisaning ro‘y berish ehtimoli p ga n sinovlar sonining ko‘paytmasiga teng.

Formuladan foydalanib dispersiyani hisoblaymiz:
.
Buning uchun quyidagini topamiz
.
Ньютон binom formulasini p nisbatan ikki marta diffrensiallaymiz:

Va hak ikkala tomonini p² ga ko’paytiramiz:

Ega bo’lamiz

Bundan kelib chiqadiki,

Ieylfq qilib binomial taqsimotning dispersiyasi quyidagiga teng bo’ladi
.

Bu natijalarni sof sifatli fikrlash orqali ham olish mumkin. Barcha sinovlar davomida A hodisasining umumiy X soni individual sinovlarda sodir bo'lgan hodisalar sonining yig'indisidir. Demak, agar X₁ hodisaning birinchi sinovda, X₂ – ikkinchisida va boshqalarda sodir bo‘lish soni bo‘lsa, u holda barcha sinovlarda A hodisasining umumiy soni X=X₁+X₂+…+X_n ga teng bo‘ladi. Matematik xususiyatga ko'ra

.
Tenglikning o'ng tomonidagi shartlarning har biri bir sinovdagi hodisalar sonining matematik kutilishi bo'lib, bu hodisa ehtimoliga teng. Shunday qilib,
.
Dispersiya xususiyatiga ko'ra: .
Xuddi shunday va faqat ikkita qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan X_i² tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi, ya'ni p ehtimolligi bilan 1² va q ehtimolligi bilan 0², u holda . Shunday qilib, Natijada, . Ega bo’lamiz.
Boshlang'ich va markaziy momentlar tushunchasidan foydalanib, biz assimetriya va kurtoz uchun formulalarni olishimiz mumkin:
Binom taqsimotining ko'pburchagi quyidagi shaklga ega (1-rasmga qarang). Pn(k) ehtimollik birinchi navbatda k ortishi bilan ortadi, eng yuqori qiymatiga etadi va keyin kamayishni boshlaydi. Binomial taqsimot assimetrikdir, p=0,5 holidan tashqari. E'tibor bering, ko'p sonli testlar n bilan binomial taqsimot normalga juda yaqin. (Ushbu taklifning mantiqiy asosi Moivre-Laplasning mahalliy teoremasi bilan bog'liq.)



Hodisa sodir bo'lishlarining m0 soni, agar ushbu sinovlar seriyasida hodisaning ma'lum bir necha marta sodir bo'lish ehtimoli eng katta bo'lsa (tarqatish poligonida maksimal) deb ataladi. Binomiy taqsimot uchun


.

Izoh. Bu tengsizlikni binomial ehtimollar uchun takroriy formula yordamida isbotlash mumkin:

1-misol. Ushbu korxonada premium mahsulotlar ulushi 31 foizni tashkil etadi. Matematik kutish va tafovut, shuningdek, 75 ta mahsulotning tasodifiy tanlangan partiyasidagi eng ko'p premium mahsulotlar soni qanday?

Yechim.
Chunki p=0,31, q=0,69, n=75, u holda
M[X] = np = 75x0,31 = 23,25; D[X] = npq = 75x0,31x0,69 = 16,04.
Eng ehtimolli m0 sonni topish uchun qo'sh tengsizlik hosil qilamiz
Bundan kelib chiqadiki, m₀ = 23.