10-ma’ruza. Binomial va Puasson taqsimotlari. Reja

Puasson taqsimoti. Yuqorida aytib o'tilganidek, binomial taqsimot n→∞ kabi normalga yaqinlashadi. Biroq, agar n ning ortishi bilan birga p yoki q kattaliklardan biri nolga moyil bo'lsa, bu sodir bo'lmaydi. Bunday holda, asimptotik Puasson formulasi bajariladi, ya'ni. n→∞, p→0 da bu yerda λ=np. Bu formula faqat binomial taqsimotning maxsus holati sifatida emas, balki mustaqil ma'noga ega bo'lgan Puasson taqsimot qonunini belgilaydi. Binomial taqsimotdan farqli o'laroq, bu erda tasodifiy o'zgaruvchi k cheksiz ko'p qiymatlarni qabul qilishi mumkin: k=0,1,2,...
Puasson qonuni k parametri bilan tavsiflangan doimiy oʻrtacha intensivlik bilan bir-biridan mustaqil ravishda sodir boʻlishi sharti bilan teng vaqt oraligʻida sodir boʻladigan k hodisalar sonini tavsiflaydi. Puasson taqsimoti ko'pburchagi rasmda ko'rsatilgan. E'tibor bering, katta λ uchun Puasson taqsimoti normalga yaqinlashadi. Shuning uchun, Puasson taqsimoti, qoida tariqasida, λ birlik tartibida bo'lgan hollarda, sinovlar soni n ko'p bo'lishi kerak va har bir sinovda p hodisasining yuzaga kelish ehtimoli kichik bo'lgan hollarda qo'llaniladi. Shu munosabat bilan Puasson qonuni ko'pincha nodir hodisalarning taqsimlanish qonuni deb ataladi.

Binomial va Puasson taqsimotining asosiy farqlari
Binomial va poisson taqsimotining farqlari quyidagi asoslarga ko'ra aniq belgilanishi mumkin:

1. 
   Binomial taqsimot - bu sinovlarning takroriy takrorlanish ehtimoli o'rganilgan. Muayyan davr ichida bir qator mustaqil hodisalarning hisobini beradigan tasodifiy sodir bo'ladigan ehtimollik taqsimoti, ehtimollik taqsimoti deyiladi.
   
2. 
   Binomial taqsimot biparametrik, ya'ni ikkita parametr n va p bilan ajralib turadi, Poisson taqsimot esa bitta parametrli, ya'ni bitta parametr m bilan tavsiflanadi.
   
3. 
   Binomial taqsimotda aniq bir urinishlar mavjud. Boshqa tomondan, poisson taqsimotida cheksiz ko'p sinovlar mavjud.
   
4. 
   Muvaffaqiyat ehtimoli binomial taqsimotda doimiy, ammo puisson taqsimotida juda kam sonli muvaffaqiyatga erishish imkoniyati mavjud.
   
5. 
   Binomial taqsimotda faqat ikkita mumkin bo'lgan natijalar mavjud, ya'ni muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik. Aksincha, zaharni taqsimlashda cheksiz ko'p miqdordagi natijalar mavjud.
   
6. 
   Binomial taqsimotda O'rtacha> Variantlik, puisson taqsimotda o'rtacha = dispersiya.
   

Xulosa. Yuqoridagi farqlardan tashqari, ushbu ikkita taqsimot o'rtasida bir qator o'xshash jihatlar mavjud, ya'ni ikkalasi ham alohida nazariy ehtimollik taqsimoti. Bundan tashqari, parametrlarning qiymatlari asosida ikkalasi ham unimodal yoki bimodal bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, binomial taqsimotni poisson taqsimoti bilan taqqoslash mumkin, agar urinishlar soni (n) cheksizlikka intilsa va muvaffaqiyat ehtimoli (p) 0 ga teng bo'lsa, m = np bo'ladi.