10-ma’ruza Cheksiz tor uchun Koshi masalasini yechish. Asosiy masalalarning qo’yilishi: Koshi masalasi, chegaraviy masalalar, aralash masalalar

10-ma’ruza Cheksiz tor uchun Koshi masalasini yechish. Asosiy masalalarning qo’yilishi: Koshi masalasi, chegaraviy masalalar, aralash masalalar

---

---

1

10-ma’ruza 

Cheksiz tor uchun Koshi masalasini yechish. Asosiy masalalarning qo’yilishi: 

Koshi masalasi, chegaraviy masalalar, aralash masalalar 

Ma’ruza rejasi:
1. Cheksiz tor uchun Koshi masalasining qo’yilishi. 
2. Dalamber formulasi.
3. Chegaralanmagan tor uchun bir jinsli bo’lmagan Koshi masalasini yechish. 


Cheksiz tor uchun Koshi masalasining qo’yilishi 
Cheksiz uzunlikdagi ya’ni chetki nuqtalarining tebranish jarayoniga ta’sirini 
e’tiborga olmasa ham bo’ladigan yetarlicha uzun torning erkin tebranish
tenglamasini qaraymiz. 
Bunday tebranishlarni yuzaga keltiruvchi sabablar torning boshlang’ich 

muvozanat holatidan og’ishi yoki tor nuqtalarining biror tezlikda taqsimlanishiga

olib keluvchi torning boshlang’ich impulsi bo’lishi mumkin. Shuning uchun, 
cheksiz uzunlikdagi torning erkin tebranishini tavsirlovchi bu tebranishning bir
jinsli tenglamasini yechishimiz kerak: 

(1)

boshlang’ich

( )

|

( )
(2)

shartlari bilan yechamiz. Bu yerda
( ) va ( ) funksiyalr sonlar o’qida 
berilgan funksiyalar.

Dalamber formulasi
(2) boshlang’ich shartlar cheksiz torning tebranishini bir qiymatli aniqlaydi. 

Shuning uchin (1) va (2) masalani boshlag’ich shartli masala yoki Koshi masalasi

deyiladi. Bu masalaning yechimini Dalamber usuli bilani yechamiz. 
(1) tenglamani yechish uchun yangi
va o’zgaruvchilar kiritamiz: 
( ) funksiya hosilalarining yangi o’zgaruvchilardagi ko’rinishini aniqlaymiz: 
(
)

( 

)

(
)

Topilgan ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni (1) tenglamaga qo’yib, topamiz 

Bu tenglamani

---

---

2

(

)

ko’rinishda yozib olamiz va integrallaymiz:

( )

bu yerda

( ) funksiya o’zgaruvchining ixtiyoriy funksiyasi. Bundan

( )
( )

bu yerda

( ) had o’zgaruvchining ixtiyoriy funksiyasi.

( )
( ) deb belgilash kiritamiz. U holda

( )

( )

bo’ladi.

va o’zgaruvchilarga qaytib, topamiz: 

( )

( )

(3) 

bu yerda

o’z argumentlari bo’yicha ikki marta differensiallanuvchi 

ixtiyoriy funksiyalar.

(3) ifoda bilan aniqlanuvchi 

( ) funksiya (1) to’lqin tenglamasining

umimiy yechimi (Dalamber yechimi) bo’ladi, ya’ni (1) tenglamaning har qanday 
yechimi

va

funksiyalarning mos tanlanishida (3) ko’rinishda ifodalanadi.
Xususan, (3) ifodaning har bir qo’shiluvchisi ham (1) tenglamaning yechimi 
bo’ladi.
Endi (2) boshlang’ich shartlardan foydalanib, 

va

funksiyalarni 

aniqlaymiz. U holda

( )
( )

( ) ( )

(4) 

( )

( )
( ) ( )

(5)

(5) tenglikni

dan
gacha integrallaymiz 

( )

( )

( )

(6)

bu yerda

va
o’zgarmas sonlar. 

(4) va (6) tengliklardan

va

ni aniqlaymiz:

( )

( )

( )

( )

( )
( )

va

funksiyalarni (1) tenglikga qo’yib

( )

( )
( )

( )

( )

---

---

3

yoki
( )
( ) ( )

( )
(7)

tenglikni hosil qilamiz.
Agar

( ) funksiya ikki marta differensiallanuvchi va ( ) funksiya esa

bir marta differensiyallanuvchi bo’lsa, (7) formula chegaralanmagan tor uchun (1), 
(2) Koshi masalasining yagona yechimi bo’ladi. (7) formulaga Dalamber formulasi
deyiladi.