10-mavzu: n o`lchovli vektorlar va ular ustida arifmetik amallar n o`lchovli vektorlar sistemasining rangi va basis n o`lchovli arifmetik vektor fazo va unga misollar

10-mavzu: n o`lchovli vektorlar va ular ustida arifmetik amallar n o`lchovli vektorlar sistemasining rangi va basis n o`lchovli arifmetik vektor fazo va unga misollar

10-mavzu: n o`lchovli vektorlar va ular ustida arifmetik amallar. n o`lchovli vektorlar sistemasining rangi va basis. n o`lchovli arifmetik vektor fazo va unga misollar
Yuqorida vektor sonlar o‘qida uning koordinatasi deb ataluvchi bitta x son; koordinatalar tekisligida tartiblangan (x;y) sonlarning jufti va koordinatalar fazosida esa (x;y;z) sonlarning tartiblashgan uchligi bilan aniqlanishini (berilishini) ko‘rdik. Shu sababli, ularni mos ravishda bir, ikki va uch o‘lchovli vektorlar deb ataladi. Xuddi shunga o‘xshash, agar n ta x_i( ) sonlarning tartiblangan sistemasi (to‘plami) bilan aniqlanadigan vektor tushunchasi kiritlsa, uni n o‘lchovli, mazkur sonlar sistemasini esa uning koordinatalari (komponentalari) deyilib, yoki yoki yoki kabi yoziladi.
n o‘lchovli vektorlar uchun aniqlangan quyidagi amallarni keltiramiz ( deb faraz qilamiz):
1)
2)
3) kabi belgilanuvchi vektorning moduli deb,

ni qabul qilinadi;

4) moduli 1 ga teng bo‘lgan vektorni birlik vektor (ort) deb ataladi;
5) berilgan va vektorlarning yig‘indisi deb, koordinatalari ularning mos koordinatalarining yig‘indisidan iborat bo‘lgan vektorga aytiladi, ya’ni

va kabi yoziladi;
xossalari:
1⁰. ,
2⁰. ,
3⁰. ;
4⁰. agar bo‘lsa, va lar qarama-qarshi vektorlar deb ataladi va kabi yoziladi hamda vektorga qarama-qarshi vektorni kabi belgilanadi;
6) berilgan va vektorlarning ayirmasi deb, shunday vektorga aytiladiki, uning bilan yig‘indisi dan iborat bo‘ladi va kabi yoziladi demak, bu ta’rif bo‘yicha

ekanligini va vektorlarni qo‘shish ta’rifi yordamida

formulani olamiz;
7) berilgan vektorning berilgan  songa ko‘paytmasi deb, shunday vektorga aytiladiki, uning har bir koordinatasi ning mos koordinatasining  songa ko‘paytmasidan iborat bo‘ladi va = kabi yoziladi, demak,

formula o‘rinlidir; vektorni songa ko‘paytirish amali quyidagi xossalarga egadir :

1⁰. ,
2⁰. ,
3⁰. ,
4⁰. ,
5⁰. ,
6⁰. ,
7⁰. ,
8⁰. ;
8) berilgan va vektorlarning skalyar ko‘paytmasi deb, ularning mos koordinatalari ko‘paytmalarining yig‘indisiga aytiladi va yoki kabi belgilanadi, demak,
;
xossalari :
1⁰. ;
2⁰. ;
3⁰. ;
4⁰. - vektorning skalyar kvadrati modulining kvadratiga tengdir;
5⁰. ;
6⁰. agar bo‘lsa, bu vektorlar ortogonal deb ataladi.
Eslatma. Bu keltirilgan amallar bo‘lgan hollarda oldingi ko‘rilganlar bilan ustma-ust tushishiga ishonch hosil qilish qiyinchilik tug‘dirmaydi.
Koordinatalari (komponentlari) haqiqiy bo‘lgan barcha n o‘lchovli vektorlar to‘plami n o‘lchovli vektorlar fazosi deb ataladi.
1-teorema. vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo‘lishi uchun
(3.11.1)
determinantning noldan farqli bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Misol. berilgan. Ularning 4 o‘lchovli vektorlar fazosida bazis tashkil etishini tekshiring va ijobiy javob olingan taqdirda vektorni shu bazisdagi koordinatalarini aniqlang.
Yechish.

ekanligidan, 3.11.1-teoremaga asosan vektorlar sistemasi 4 o‘lchovli fazoda bazisni tashkil qiladi.

Endi, vektorning bu bazisdagi koordinatalarini deb belgilab, (3.11.4) sistemani tuzamiz:

Bu sistemaning determinanti yuqorida hisoblangan determinantga transponirlanganligidan u ham 4 ga tengdir. Yordamchi determinantlarni hisoblaymiz:

Kramer formulalariga asosan:

Demak, bazisda .

Mustaqil ishlash uchun misollar.

1. 
   
   ABCDA₁B₁C₁D₁ to‘g‘ri burchakli parallelepipedda berilgan vektorlarga ko‘ra
   

vektorlarni yasang.

2. Ixtiyoriy ABC uchburchakda E va F nuqtalar mos ravishda AB va AC tomonlarining o‘rtasi bo‘lsa, vektorlarni vektorlar orqali ifodalang.

   
   

Javob:

3. Tekislikda nuqtalarga koordinatalar boshidan kuchlar qo‘yilgan. Ularning teng ta’sir etuvchisi ni yasang va uning koordinata o‘qlardagi proyeksiyalarini hamda modulini toping.
   

Javob:

4. To‘rtburchak uchlarining koordinatalari berilgan:
   

Shu to‘rtburchakning kvadrat ekanligini ko‘rsating.

5. vektorning boshi va uni teng ikkiga bo‘luvchi nuqta berilgan bo‘lsa, B uchining koordinatalarini toping.

   
   

Javob: .

6. vektorlar berilgan. Bu vektorlarning skalyar ko‘paytmasini toping.

   
   

Javob: 0.

7. va vektorlar berilgan. m ning qanday qiymatlarida bu vektorlar o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi?

   
   

Javob: 4.

8. va vektorlar berilgan. Bu vektorlarning vektor ko‘paytmasi topilsin.

   
   

Javob: .

9. vektorlarning aralash ko‘paytmasini hisoblang. Javob: 33.

   
   

http://fayllar.org