11-ma’ruza kasr-ratsional va ba’zi irratsional funksiyalarni integrallash reja

8-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish. boʻlgani uchun,

.◄
Integral

koʻrinishida berilgan boʻlsin. Avval kasr suratida ildiz ostidagi kvadrat uchhadning differensiali hosil qilinadi( ), kvadrat uchhaddan toʻla kvadrat ajratiladi va quyidagi amallar bajariladi:

.
Agar boʻlsa, oxirgi integralni

integralga keltirib hisoblash mumkin.
Agar boʻlsa, integralga keltirib
hisoblash mumkin.
Eslatma. Qulaylik uchun, kvadrat uchhadni toʻla kvadratga ajratishdan avval ning modulini ildizdan chiqarish kerak.
9-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish.
.
10-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish. Qulaylik uchun, avval 2 ni ildizdan chiqarib olamiz.
.
Hosil boʻlgan integralni hisoblaymiz.


Demak,
.

Agar integral

koʻrinishda boʻlsa, almashtirish yordamida hisoblanadi.
11-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish.

.
Agar integral

koʻrinishda boʻlsa, kvadrat uchhadni toʻla kvadratga ajratib, quyidagi

1. 
   , almashtirish;
   
2. 
   , almashtirish;
   
3. 
   , almashtirish
   

yordamida hisoblanadigan integrallardan biriga keltirish mumkin.


12-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish.

.
13-misol. Ushbu integralni hisoblang.
Yechish.

.


Mavzu yuzasidan savollar:

1. 
   Qanday ratsional kasr toʻg‘ri kasr, qanday ratsional kasr notoʻg‘ri kasr deyiladi?
   
2. 
   Notoʻg‘ri ratsional kasrdan butun qismi qanday ajratiladi?
   
3. 
   Toʻg‘ri ratsionol kasr oddiy kasrlar yig‘indisiga qanday ajratiladi?
   
4. 
   I va II turdagi sodda kasrlar qanday integrallanadi?
   
5. 
   III turdagi sodda kasrlar qanday integrallanadi?
   
6. 
   IV turdagi sodda kasrlar qanday integrallanadi?