12- ma’ruza mavzu: Yorug‘lik difraksiyasi. Reja

12- MA’RUZA
Mavzu: Yorug‘lik difraksiyasi.
Reja:

1. 
   Yorug‘lik difraksiya hodisasi.
   
2. 
   Frenel difraksiyasi.
   
3. 
   Fraungofer difraksiyasi.
   
4. 
   Difraksion panjara.
   
5. 
   Golografiya to‘g‘risida tushuncha.
   

Difraksiya lotincha «difraksis» so‘zidan olingan bo‘lib, aylanib o‘tish degan ma’noni anglatadi. To‘lqinlarning o‘z yo‘lidan uragan to‘siqlarni aylanib o‘tish hodisasi, ya’ni ularning to‘g‘ri chiziqli tarqalishidan og‘ishi-to‘lqin difraksiyasi deyiladi. Yorug‘lik difraksiyasini kuzatish uchun maxsus sharoitlar yaratish kerak, bu hodisa tusiqning o‘lchovi bilan to‘lqin uzunligi orasidagi munosabatga bog‘liq.
To‘siqlarni to‘lqinlar aylanib o‘tish hodisasi yorug‘likning difraksiyasi deb ataladi. Optikada, bu hodisa yorug‘likning geometrik soya sohalariga kirishini bildiradi.
Yorug‘lik difraksiyasini o‘rganish mohiyati faqat yorug‘lik va soya oralaridagi o‘tkinchi sohani o‘rganish bilan cheklanmaydi. Difraksiya nazariyasi to‘lqin nazariyasini geometrik optika qoidalari bilan muvofiqlashtirish imkonini beradi.
Gyuygens – Frenel prinsipi. Difraksiyaning aniq nazariyasi juda murakkabdir. Shu sababli, Gyuygens-Frenel prinsiplariga asoslangan taqribiy usullar katta axamiyatga ega bo‘ladi.
Gyuygens prinsipiga asosan, AB to‘lqin frontining har bir nuqtasini ikkilamchi sferik to‘lqinlar manba’i deb hisoblash mumkin (19.1 - rasm).

19.1 – rasm. Ikkilamchi sferik to‘lqinlar manba’larini hosil bo‘lishi
Frenel esa, bu prinsipga, ikkilamchi to‘lqinlar o‘zaro ta’sirlashib interferensiya manzarasini hosil qilishi mumkin, degan fikrni qo‘shimcha qildi.
M1 yorug‘lik manba’ini ixtiyoriy yopiq  sirt bilan o‘raymiz (19.2 - rasm). d sirt elementining hosil qilgan tebranishining R nuqtaga siljishi quyidagiga teng bo‘ladi:
(16)
bu erda A0 – d elementdagi tebranish amplitudasi, r – d elementdan R nuqtagacha bo‘lgan masofa, k() – qiyshayish koeffitsienti - R nuqta tomon yo‘nalish bilan d yuzaga normal orasidagi  burchakka bog‘liq kattalik.

19.2 – rasm. d sirtli yorug‘lik manbasi
bo‘lganda dir. R nuqtadagi natijaviy tebranish superpozitsiya prinsipiga asosan
, (17)
ga teng. Bu ifoda Gyuygens-Frenel prinsipining analitik ifodasidir. Bu ifoda orqali hisoblar bajarish katta qiyinchilik tug‘diradi. Shu sababli, Frenel tomonidan taklif etilgan, soddalashgan usullarni ko‘rib chiqamiz.
Frenel sohalari
M nuqtaviy yorug‘lik manba’ining sferik to‘lqin frontiga mos tushadigan  sirtini olamiz va bu sirtning markazi nuqtaviy manba’da yotadi deb hisoblaymiz (12 - rasm).

19.3 – rasm. Sferik to‘lqin frontini Frenel sohalariga ajratish
To‘lqin frontining barcha nuqtalari bir xil chastota va fazada tebranadi, natijada kogerent manbalar majmuasini ifodalaydi.  sirtni, istalgan ikkita qo‘shni soha to‘lqinlari R nuqtaga qarama-qarshi fazada keladigan, halqali sohalarga ajratamiz.

Frenel sohalari yuzasi bir-biriga tengdir. Sohalardagi tebranishlar amplitudalari m – oshishi bilan monoton kamayib boradi:

Istalgan sohadagi tebranishlar amplitudasi qo‘shni sohalar amplitudalarining o‘rtacha yig‘indisiga teng bo‘ladi:
, (18)
Juft sohalar amplitudalari bir xil ishorada bo‘lsa, tok sohalar amplitudalari boshqa ishorada bo‘ladi. Natijaviy tebranish amplitudasi quyidagiga teng bo‘ladi:
, (19)
Shunday qilib, R nuqtadagi barcha to‘lqinlar frontining ta’siri markaziy soha-ta’sirining yarmiga ekvivalentdir.
Yorug‘likning har xil to‘siqlardan o‘tishida kuzatiladigan difraksiya hodisalari
Oddiy to‘siqlardagi Frenel difraksiyasi

Agarda manba’ va R kuzatuv nuqtasi to‘siqdan katta masofada joylashsa, u holda to‘siqqa tushayotgan va R nuqtaga yo‘nalgan yorug‘lik nurlari deyarli parallel bo‘ladilar. Bu holda kuzatiladigan difraksiya – Fraungofer difraksiyasi yoki parallel nurlar difraksiyasi deb ataladi. (19.4 - rasm).

19.4 - rasm. Parallel nurlar difraksiyasi
Dumaloq teshikdan o‘tgan nurlar difraksiyasi
Nuqtaviy M yorug‘lik manba’i va R kuzatuv nuqtasi orasiga dumaloq teshikli tiniq bo‘lmagan ekranni joylashtiramiz (19.5 - rasm).

19.5 – rasm. Dumaloq teshikli ekrandagi difraksiya
Frenel prinsipiga asosan ekran to‘lqin frontining bir qismini to‘sadi. Yorug‘lik oqimining ekrandagi taqsimlanishi teshikka nechta Frenel sohalari sig‘ishiga bog‘liq.
Agarda, 1-Frenel sohasi ochiq bo‘lsa, (19) - ifodaga asosan, R nuqtadagi yorug‘likning amplitudasi yorug‘likning erkin tarqalishiga nisbatan ikki marta (jadalligi esa 4 marta) katta bo‘ladi.
Agarda, teshikka 2 ta Frenel sohasi joylashsa, interferensiya hisobiga R nuqtada to‘lqinlar bir-birini yo‘qqa chiqaradi.
Teshikka joylashadigan Frenel sohalarining soni Rm – tashqi radiusi bilan quyidagicha bog‘langan bo‘ladi
yoki , (20)
Demak, Frenel sohasining radiusi to‘siq bilan kuzatuv nuqtasi orasidagi masofa va to‘lqin uzunligiga bog‘liq ekan.
R kuzatuv nuqtasida yorug‘lik jadalligini barcha juft yoki toq Frenel sohalarini to‘sish bilan ko‘p marta kuchaytirish mumkin. Kuzatiladigan difraksiya parallel bo‘lmagan nurlar difraksiyasi deb ataladi.
Dumaloq diskdan o‘tgan yorug‘lik nurlari difraksiyasi
To‘siq dumaloq diskdan iborat bo‘lgan holda (19.6 - rasm) sferik to‘lqin frontining yopilmagan qismini, ekran chegarasidan boshlab Frenelning halqaviy sohalariga ajratamiz.

19.6 – rasm. Dumaloq diskli to‘siqdagi difraksiya
R nuqtadagi yorug‘likning amplitudasi 1-Frenel sohasining shu nuqtada hosil qilaoladigan amplitudasining yarmiga teng bo‘ladi. Diskning diametri qanday bo‘lishiga qaramay, uning geometrik soyasi markazida yorug‘ dog‘ kuzatiladi. Geometrik soyadan tashqarida interferensiya hisobiga konsentrik qorong‘i va yorug‘ xalqalar tizimi kuzatiladi.
Agarda disk ko‘p Frenel sohalarini to‘sadigan bo‘lsa, yorug‘ va soyalarning tor sohasida yorug‘lik jadalligi sust bo‘lgan yorug‘ va qorong‘i xalqalar kuzatiladi.
Yorug‘likning to‘g‘ri chiziqli tarqalishi
Frenel sohalari usuli yorug‘lik to‘lqinlarining to‘g‘ri chiziqli tarqalishi to‘g‘risidagi tushunchaning qo‘llash chegarasini baholash imkonini beradi.
Agarda Frenel sohalari o‘lchamlariga nisbatan ekran o‘lchamlari katta bo‘lsa difraksiya hodisasini inobatga olmay, yorug‘likni to‘g‘ri chiziqli nur deb hisoblash mumkin. To‘lqin uzunligi  qancha qisqa bo‘lsa Frenel sohalarining o‘lchami shuncha kichik bo‘ladi va geometrik optikaning taxminiy tushunchalaridan aniqroq foydalanish mumkin.
(20) – ifodadan ko‘rinib turibdiki, Frenel sohasining radiusi nafaqat ekran va manba’ orasidagi masofaga bog‘liq bo‘lmay, ekran va kuzatish nuqtasi orasidagi masofaga ham bog‘liqdir.
Bu masofalar qanchalik katta bo‘lsa, Frenel soqalari radiusi ham katta bo‘ladi va yuqori darajada geometrik optika tushunchalaridan chetlashish kuzatiladi.
Bitta tirqishli to‘siqdagi Fraungofer difraksiyasi
Cheksiz uzunlikdagi v tor tirqishli AB ekranga perpendikulyar ravishda parallel nurlar oqimi tushayotgan bo‘lsin (19.7 - rasm).


19.7 – rasm. Bitta tirqishli to‘siqdagi difraksiya
Birinchi nur yo‘nalishi bilan  burchak ostidagi yo‘nalishda tarqalayotgan nurlarni ko‘ramiz.
Difraksiya hodisasini kuzatish uchun nurlar qarshisiga linza qo‘yamiz. Uning optik o‘qi AB ekranga perpendikulyardir. U holda parallel nurlar singandan so‘ng linzadan o‘tib uning fokal tekisligidagi R nuqtada yig‘iladilar. Linza nurlarning qo‘shimcha yo‘llar farqini hosil qilmaydi.
To‘lqinning tekis fronti tirqishga etib borib ABholatni egallaganda, tirqishning barcha nuqtalarini Gyuygens prinsipiga asosan, yangi kogerent to‘lqinlar manba’i deb hisoblasa bo‘ladi.
Frenel sohalari usuli yordamida to‘lqin sirtining ochiq qismi chegaralarida yo‘l farqi ga teng bo‘lgan parallel yo‘lakchalarga ajratamiz. Bu yo‘lakchalarni Frenel sohalari deb hisoblaymiz. Ikkita qo‘shni Frenel sohalaridan chiquvchi to‘lqinlar R nuqtaga qarama-qarshi fazalarda etib keladilar.
Bu tuzilishda sohalar soni juft bo‘lsa, R nuqtadagi natijaviy amplituda nolga teng bo‘ladi.
Berilgan  burchakda toq Frenel sohalar joylashsa, u holda bitta soha ta’siri kompensatsiyalashmay qoladi va R nuqtada yoritilganlikning maksimumi kuzatiladi. Maksimum va minimum kuzatiladigan shartlar quyidagicha bo‘ladi:
;
 burchak bilan aniqlanadigan yo‘nalishdagi ikkilamchi to‘lqinlarning interferensiyasini hisoblash uchun ABto‘lqin frontining ochiq qismini elementar dx yo‘lakchalarga bo‘lamiz (19.6 - rasm). U holda, x koordinatali dx yo‘lakchaning R nuqtada hosil qiladigan tebranishini quyidagicha ifodalash mumkin:
(21)
bu erda kx sin - koordinatalari 0 va x bo‘lgan, dx elementar yo‘lakchadan R nuqtaga kelgan tebranishlarning fazalari farqi, dx bo‘lakning hosil qilgan tebranishi amplitudasidir.

19.8 – rasm. Toq Frenel sohali tirqishdagi difraksiya

(21) – ifodani tirqish kengligi bo‘yicha integrallasak R nuqtadagi natijaviy maydonni topish mumkin. Quyidagi belgilashni kiritamiz:

, (22)
, (23)
Istalgan R nuqtadagi nurlanish jadalligi amplitudaning kvadratiga proporsionaldir:
, (24)
Ma’lumki,

ga teng.
Shu sababli, (24) – funksiya  = 0 da maksimumga ega bo‘ladi. (22) – ifodadan,  = 0 va  = m bo‘lganda minimum kuzatiladi, bu yerda m = 1, 2 va h.k.

19.9 – rasm. funksiyaning grafigi

Demak, bitta tirqishda yorug‘lik jadalligi minimumi kuzatish sharti quyidagidan iborat:

, (25)
bu erda m – minimum tartibi deb ataladi. Minimumlar orasida yoritilganlik maksimumlari joylashgan, ularning holati quyidagi shart bilan aniqlanadi:
, (26)
burchak qiymati oshishi bilan maksimum jadalligi kamayaboradi. YOrug‘lik oqimining katta qismi bosh (90%), birinchi (5%) va ikkinchi (2%) maksimumlar atrofida yig‘iladi.
Kuzatilishi mumkin bo‘lgan minimumning eng katta tartibi
,
ga teng. (24) – ifodadan I0 = If ekanligi ko‘rinib turibdi, ya’ni difraksiyaviy manzara linzaning markaziga nisbatan simmetrikdir.
Tirqishga monoxromatik bo‘lmagan yorug‘lik nurlari tushsa difraksiya manzarasi maksimumlari har xil rangli nurlar uchun ekranning xar xil nuqtalariga joylashadi va difraksiyaviy spektr hosil qiladi. Markaziy maksimum oq nurdan tashkil topadi. O‘ng va chap taraflarda markazga yaqinroqda binafsha nurlar difraksiya spektrlari kuzatiladi.
Difraksiyaviy panjara
Kengligi a bo‘lgan, tiniq bo‘lmagan oraliqlar bilan bo‘lingan, bir xil v kenglikdagi parallel tirqishlar qatori -difraksiyaviy panjara deb ataladi. Buerda d = a + b kattalik difraksiyaviy panjara davri yoki doimiysi deb ataladi.
Parallel nurlar dastasi tushayotgan, ikkita tirqishdan iborat eng sodda panjarani ko‘rib chiqaylik (19.10- rasm).


19.10 – rasm. Eng sodda difraksiyaviy panjara

Ikkita tirqishda kuzatiladigan difraksiyaviy manzara minimum va maksimumlari xolatlari bir tirqishli difraksiyadagi xolatlar ustiga tushmaydi. Chunki ikki tirqishli xolda, nurlarning bitta tirqishdan va ikkita tirqishdan hosil bo‘lgan interferensiyasi tufayli difraksiyaviy manzaralar bir-birining ustiga tushmaydilar.

Maksimum va minimum kuzatilishi shartlari quyidagichadir:
, (27)
, (28)
Istalgan R nuqtada uchta imkoniyat bo‘lishi mumkin:
a) (1)- va (2)- difraksion manzaralar maksimumlari bir-birini ustiga tushadi;
b) bitta manzara maksimumi ikkinchi manzara minimumiga mos tushadi;
g) bitta manzara minimumi ikkinchi manzara minimumiga mos tushadi.
a) va b) holatlar manzarasi bir-birini ustiga tushganda R nuqtada maksimum va minimum kuzatiladi. b) holatda faqat minimum kuzatiladi.
Shunday qilib ikkita tirqishdagi difraksiya manzarasida, bitta tirqishdagiga nisbatan maksimumlar ko‘proq kuzatiladi. Tirqishlar soni oshishi minimumlar sonini oshishiga olib keladi.
va
kattaliklar, mos ravishda, burchakli va chiziqli dispersiya deb ataladi.
Bu yerda va , to‘lqin uzunligi bilan farq qiladigan spektral chiziqlar orasidagi burchakli chiziqli masofalardir.
Difraksiyaviy panjaraning burchakli dispersiyasini topishga harakat qilamiz. Buning uchun bosh maksimum kuzatilishi shartini differensiyalaymiz


 ning kichik qiymatlarida, cos   1 ga teng. SHuning uchun

ga teng bo‘ladi.
Difraksiyaviy panjaraning aniqlash kuchi deb o‘lchovsiz kattalikka aytiladi. Bu kattalik ikkita yonma-yon turgan spektral chiziqlarni alohida aniqlash imkoniyatini ko‘rsatadi (19.11- rasm).

19.11 – rasm. Difraksiyaviy panjaraning aniqlik kuchi

Agarda, bitta maksimum markazi, ikkinchisining markazidan taxminan , eng kichik to‘lqin uzunligi masofasida joylashsa, bu holda spektral chiziqlar alohida aniqlangan hisoblanadilar.
Difraksiyaviy panjara uchun aniqlash kuchi R = mN ga tengdir. Bu erda N tirqishlar soni, m – maksimum kuzatilish tartibi.
Hozirgi zamon difraksiyaviy panjaralar 200 000 dan ortiq chiziqlardan iborat bo‘ladi va spektral chiziqlarni alohida aniqlash imkoniyati 400 000 dan ortiqdir.
Difraksiyaviy panjara sifatida fazoviy davrlikka ega bo‘lgan istalgan tuzilmani tushunish mumkin. To‘lqin uzunligi 0,110-9 m bo‘lgan rentgen nurlari difraksiyasini olish uchun atom va ionlardan tashkil topgan, fazoviy davrlikka ega bo‘lgan kristall panjaradan foydalanish mumkin (19.12 - rasm).


19.12-rasm.Fazoviy davrlikka ega bo‘lgan difraksiyaviy panjara
AV va A1V1 tekisliklardagi qo‘shni atomlardan qaytgan nurlar orasidagi R0 yo‘l farqi:

ga teng. Interferensiya kuchayishi Bregg - Vulf shartiga binoan bajariladi:
,
bu erda m = 0, 1, 2, +…..
Hozirgi davrda, fizikada rentgen nurlari difraksiyasiga asoslangan ikkita yo‘nalish paydo bo‘ldi: rentgen spektroskopiyasi va rentgen strukturaviy analizi.
Golografiya to‘g‘risida tushunch.
Golografiya grekcha "holo" "to‘liq", "grafic", "yozaman" so‘zlaridan tashkil topgan bo‘lib, u buyumlarning tashqi ko‘rinishini "yozib olish" ning maxsus usulini anglatadi. Bu usul 1947 yilda D.Gabor tomonidan kashf qilingan. Golografiyaning mohiyati buyumdan kelayotgan nurlanishning to‘lqin frontini fotoplastinkaga qayd qilish (yozib olish), so‘ng buyumning tasvirini vujudga keltirish maqsadida bu frontni tiklashdan iborat.
Fotografiyada yoritilgan ob’ektning ayrim nuqtalaridan qaytgan nurlar fotoplastinka yoki fotoplyonka tekisligining ayrim nuqtalariga ob’ektiv yordamida fokuslanadi. Bunda buyum barcha qismlarining tasvirlari ravshan bo‘lavermaydi. Fotoapparat biror tekislikka ravshan qilib moslangan bo‘lsa, buyumlarning shu tekislikda yotuvchi nuqtalarining tasvirlari ravshan bo‘lib chiqadi. Buyumning bu tekislikdan beriroqdagi yoki nariroqdagi qismlarining tasvirlari esa unchalik aniq bo‘lmaydi. Masalan, bino oldida turgan odamning fotografik tasvirida odam gavdasi berkitib turgan bino qismini fotografiyaga turlicha vaziyatlardan qaragan bilan bari bir ko‘rib bo‘lmaydi. Bundan tashqari, binoni odamdan qanchalik uzoqda joylashganligi ham aniqlab bo‘lmaydi. Bino va odamning tasvirlari bitta tekislikda ko‘rinadi. Fotoplastinkada buyumning ayrim nuqtalaridan qaytgan nurlarning nisbiy intensivliklari qayd qilinadi. Bu nurlar fazalari orasidagi munosabatni fotoplastinkaning qorayishiga hech ta’siri yo‘q. Vaholanki, fazalar orasidagi munosabat buyumning ayrim nuqtalarini fotoplastinkadan uzoqliklariga bog‘liqdir.
Gologramma hosil qilish va qayta tasvirni hosil qilish.
Gologramma hosil qilish. Kogerent yorug‘lik dastasi ikkiga ajratilib, uning bir qismi buyum (B) dan qaytib fotoplastinka (G) ga tushadi. Bu to‘lqinni signal to‘lqin yoki buyum to‘lqin deyiladi. Ikkinchi qismi esa qaytargich plastinka (K) dan qaytib fotoplastinkaga tushadi. Uni tayanch to‘lqin deyiladi. Bu ikki guruh kogerent to‘lqinlar fotoplastinkada qo‘shilib intenferension manzara hosil qiladi. Fotoplastinkaga ishlov berilgandan so‘ng oshkor bo‘ladigan bu interferension manzara gologramma deyiladi. Gologrammada buyumdan qaytgan to‘lqinlarda, ya’ni buyum to‘lqinlarining amplituda hamda fazalari to‘g‘risidagi axborotlar qayd qilingan. Haqiqatan, buyum va tayanch to‘lqinlarning fazalari bir xil bo‘lsa, bu to‘lqinlarning amplitudalari qo‘shiladi. Shuning uchun pozitiv gologrammaning bunday nuqtalari shaffofroq (negativ gologrammada esa xiraroq) bo‘ladi. Buyum va tayanch to‘lqinlar fazalari mos bo‘lmagan tarzda etib kelgan gologrammada nuqtalar esa qorong‘iroq bo‘ladi.
Golografik tasvirni tiklash. Demak, buyumdan qaytgan nurlarning faqat amplitudalarinigina emas, balki fazalarini ham fotoplstinkada qayd qilish usulini topish lozim. Bu usul golografiyadir. Golografiya to‘lqin optikasining asosiy qonunlari - intenferensiya va difraksiya qonunlaridan foydalanish asosida vujudga keldi. 

19.13-rasm

Tasvirni tiklash uchun gologramma avvalgi holatiga joylashtiriladi va uni "tayanch" bilan yoritiladi. Natijada interferension strukturadagi difraksiya tufayli buyum to‘lqinning nusxasi tiklanadi.
Nazorаt savollari
1. Difraksiya so‘zi qanday ma’noni anglatadi?
2 . Gyuygens prinsipi nima?
3 . Frenel- Gyugens prinsipiga qanday qo‘shimcha kiritdi?
4. Fraungofer difraksiyasi deb qanday difraksiyaga aytiladi?
5. Difraksion panjaradagi difraksiyani izohlab bering.
6. Difraksion panjara deb nimaga aytiladi?
7. Difraksion panjara qaerda qo‘llaniladi?