12-Amaliy mashg’ulot: Chiziqli dasturlashga keltiriladigan masallarning matematik modelini qurish. Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish. Darsning maqsadi

12-Amaliy mashg’ulot: Chiziqli dasturlashga keltiriladigan masallarning matematik modelini qurish. Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish.


Darsning maqsadi: Chiziqli tengsizliklar va ularning geometrik mazmunini o’rganish

Bizga matematika kursidan ma’lumki ikki algebraik ifoda bir-biri bilan () katta yoki () kichik belgi bilan bog’lanishi natijasida tengsizliklar hosil bo’ladi. Bir yoki ko’p o’zgaruvchili tengsizliklar chiziqli tengsizliklar deyiladi [2]. Masalan,

a1х1  c - bir o’zgaruvchili tengsizlik,
a1х1 + a2х2 {, } c - ikki o’zgaruvchili tengsizlik,
a1х1 + a2х2 +a3х3 {, } c - uch o’zgaruvchili tengsizlik,
a1х1 + a2х2 +a3х3 +...+ anхn {, } c - n o’zgaruvchili tengsizlik.
ChDMlarini geometrik talqini haqida so’z ketganda, ikki noma’lumli tengsizliklar ustida ish olib boriladi. Chiziqli tengsizliklarning geometrik talqini ularga mos keluvchi yarim (fazo) tekislik bo’ladi. Tenglamani tengsizlikka almashtirgandagi to’g’ri chiziqdan hosil bo’lgan yarim tekislik ko’pincha ikki noma’lumli tengsizliklar echimlari sohasini ifodalaydi. Shu yarim tekislikka tegishli istalgan nuqta koordinatalari tengsizliklarni qanoatlantiradi, ya’ni shu istalgan nuqtani tengsizlikni echimi deb qarash mumkin bo’ladi. Bunday nuqtalar to’plamini esa echimlar to’plami deb qaraladi. Birinchi misolni keltiramiz.
1-vazifa. 2х1 + 3х2  18 tengsizlikni ifodalovchi echimlar sohasini toping.
 Masalaning yechilishi
Berilgan tengsizlikni tenglama ko’rinishiga keltiramiz, ya’ni:
I. 2х1 + 3х2 = 18. Bu yerda х2 = 0 deb olcak х1 = 9 га, х1 = 0 da esa х2 = 6 ga ega bo’lamiz.
Demak, berilgan to’g’ri chiziq (x1; x2) koordinatalar tekisligida Ох1 o’qini (9;0) nuqtada Ох2 o’qini esa (0;6) nuqtada kesib o’tadi.

-shakl

I I. Keltirilayotgan 1 – shakldan ko’rinib turibdiki, 2х1 + 3х2 = 18 to’g’ri chiziq koordinatalar boshi O(0;0) nuqtadan yuqorida joylashgan.
Bu qiymatlarni berilgan 2х1+3х2 -18 = 0 to’g’ri chiziqqa qo’ysak
2·0 + 3·0 - 18 = - 18< 0 га эга бўламиз.
Demak, koordinatalar boshi 2х1 + 3х2 18 yarim tekislikda yotsa,
2х1 +3х2 18 yarim tekislik esa unga qarama-qarshi sohani ifodalaydi.
Berilgan masala bo’yicha (1-shakl) topilgan nuqtalar berilgan tengsizlikni qanotlantirsa, echimlar to’plami shu yarim tekislikda yotadi, agar qanoatlantirmasa, qarama - qarshi tekislikda yotadi.
Endi ikki noma’lumli chiziqli tengsizliklar sistemasini qaraymiz:
a11х1 + a12х2 {, } с1,
a21х1 + a22x2 {, } с2,
a31х1 + a32х2 {, } с3,
... + ... ...
an1х1 + an2х2 {, } сn.
х1  0, х2  0.
Keltirilgan tengsizliklar sistemasini echimlar sohasi (x1;x2) koordinatalar tekisligida n ta ikki noma’lumli yarim tekisliklar kesishishidan hosil bo’ladigan ko’pburchakni tashkil qilishi mumkin.
IKKI NOMA’LUMLI ChIZIQLI DASTURLASH MASALALARINI GEOMETRIK TALQINI
 Bizga ikki o’lchovli ChDM berilgan bo’lsin:
Zmах(min)=c1x1+c2x2 (1.1)
maqsad funktsiyaning maksimum (minimum) qiymati
a11x1 + a12x2  b1,
a21x1 + a22x2  b2,
a31x1+a32x2  b3, (1.2)
... + ...  .. .
am1x1 + am2x2  bm .
х1,20. (1.3)
shartlarda topilsin.
Agar (1.2) sistema noma’lumlarning noldan katta yoki teng qiymatlarida ko’pburchak bilan chegaralangan bo’lsa (1.2) va (1.3) tengsizliklarni har biri
a11x1 + a12x2 = b1,
a21x1 + a22x2 = b2,
a31x1 + a32x2 = b3,
... + ... = ...
am1x1 + am2x2 = bm
va
х1 = 0, х2= 0
to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan yarim tekisliklarni aniqlaydi. Maqsad funktsiyasining qiymati esa c1x1+c2x2 = const to’g’ri chiziqni ifodalaydi.
Berilgan (1.2) sistemaning qavariq ko’pburchagi va maqsad funktsiyasining c1x1+c2x2 = const to’g’ri chizig’i tuziladi.
Zmах(min) = c1x1+c2x2 qiymatini aniqlash uchun c1x1+c2x2 =c0 to’g’ri chiziq yasaladi.
Bu to’g’ri chiziqni N(c1;c2) vektor yunalishida yoki unga teskari yo’nalishda parallel surib, qavriq ko’pburchakning maqsad funktsiyasiga eng katta (eng kichik) qiymat beruvchi nuqtasi aniqlanadi.
Agar,
1) To’g’ri chiziqni parallel ko’chirganimizda u ko’pburchakning eng yuqori nuqtasi bo’lsa, ya’ni uchidan o’tsa Zmах = c1x1+c2x2 maqsad funktsiyasi o’zining maksimum qiymatiga erishadi.

x2 В А x1

2-shakl.

2) To’g’ri chiziqni parallel ko’chirganimizda u ko’pburchakning eng quyi nuqtasi bo’lsa Zmin = c1x1+c2x2 maqsad funktsiyasi o’zining minimum qiymatiga erishadi.

	В x2 D А x1 0 3-shakl
To’g’ri chiziqni parallel ko’chirganimizda u ko’pburchakning biror tomonining ustiga tushishi mumkin. U holda Zmах = c1x1+c2x2 maqsad funktsiyasi maksimumi shu tomonning hamma nuqtalarida yotadi (3-shakl).

Endi chiziqli dasturlash masalasini grafik usulida echilishini vazifalar bajarish orqali qarab chiqaylik.
2-vazifa

ChDMni grafik usulda eching. Zmax(min) = 3х1 - 2х2 2х1 +3х2 15, -2х1 +3х2  12, 3х1 - х2  6, х1 0; х2  0.

Koordinatalar o’qida quyidagi chiziqlarni yasaymiz: 2х1 +3х2 = 15 (l1 chiziq), -2х1 +3х2 = 12 (l2 chiziq), 3х1 - х2 = 6 (l3 chiziq), х1=0 (Ох2 o’qi), х2=0 (Ох1 o’qi).

I. ChDM shartidagi tengsizliklar sistemasidan hosil qilingan to’g’ri chiziqlarni (x1;x2) koordinatalar tekisligida Ox1 va Ox2 o’qini kesib o’tuvchi nuqtalarini aniqlaymiz.
 2х1 +3х2 = 15 to’g’ri chiziqni yasaymiz: х2=0 да х1=7,5; х1=0 da х2 =5.
Demak, berilgan to’g’ri chiziq (x1;x2) koordinatalar tekisligida Ox1 o’qini (7,5;0) nuqtada Ox2 o’qini esa (0;5) nuqtada kesib o’tadi.

 -2х1 +3х2 = 12 to’g’ri chiziqni yasaymiz: х2= 0 да х1= -6; х1= 0 da х2 =4.

Demak, berilgan to’g’ri chiziq (х1;х2 koordinatalar tekisligida Ох1 o’qini (-6; 0) nuqtadа, Ох2 o’qini esa (0; 4) nuqtada kesib o’tadi.

 3х1 - х2 = 6 to’g’ri chiziqni yasaymiz: х2 = 0 да х1 = 2; х1 = 0 dа х2 = -6.

Demak, berilgan to’g’ri chiziq (х1; х2) koordinatalar tekisligida Ох1 o’qini (2;0) nuqtadа, Ох2 o’qini esa (0;-6) nuqtada kesib o’tadi.

 х1 = 0 chiziq Ох2 o’qini, х2 =0 chiziq Ох1 o’qini ifodalaydi.

 Z = 3х1 - 2х2 = const chiziqli funktsiyaning normal vektori quyidagicha bo’ladi: (c1;c2) = (3;-2).

Bu vektorni yasash uchun koordinatalar boshi O(0;0) bilan (3;-2) nuqta birlashtiriladi.
Berilgan l1, l1 va l3 to’g’ri chiziqlarni (x1; x2) koordinatalar tekisligida yasaymiz. (II. Bu bosqichda l1, l1 va l3 to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtalarini aniqlaymiz. Buning uchun (l1 va l2), (l1 va l3), (l2 va l3) tenglamalar sistemasini echamiz.
Shakldan ko’rinib turibdiki berilgan ChDMni tengsizliklar sistemasidan hosil bo’ladigan yarim tekisliklar ABC qavariq uchburchakni tashkil qiladi.

 2х1 +3х2 = 15 (l1), -2х1 +3х2 = 12 (l2).

l1 tenglamaga l2 tenglamani qo’shamiz va 6х2 = 27 dаn х2 = 9/2 ga ega bo’lamiz. Bu qiymatni l1 ga qo’ysak

х1 = 3/4 bo’ladi. Demak, l1 va l2 to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasi А(х1; х2) = A(3/4; 9/2) dan iborat ekan.

 2х1 +3х2 = 15 (l1), 3х1 - х2 = 6 (l3).

l3 tenglamani 3 ga ko’paytirib l1 tenglamaga qo’shamiz:

2х1 +3х2 = 15 (l1), 9х1 - 3х2 =18 (l3).

11х1 = 33 dan х1 = 3 ga ega bo’lamiz. Bu qiymatni l1 ga qo’ysak х2 = 3. Demak, l1 va l2 to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasi B(х1; х2) = В(3; 3) da bo’ladi.

 -2х1 +3х2 = 12 (l2), 3х1 - х2 = 6 (l3).

l3 тенгламани 3 га кўпайтириб l2 тенгламага қўшамиз:

-2х1 +3х2 = 12 (l2), 9х1 - 3х2 =18 (l3).

7х1 = 30 dan х1 = 30/7 ga ega bo’lamiz. Bu qiymatni l2 ga qo’ysak х2 = 48/7. Demak, l1 va l2 to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtasi C(х1; х2) = C(30/7; 48/7) dan iborat bo’ladi.
III. (c1;c2)= (3;-2) vektorni ABC qavariq soha (uchburchak uchlari) bo’yicha parallel siljitamiz. Berilgan funktsionalga ekstremal qiymat beradigan qiymatlar ABC qavariq uchburchakning uchlarida erishadi.
Endi ABC qavariq uchburchak uchlarini А(х1; х2)=A(3/4; 9/2), B(х1; х2)= B(3;3) vа C(х1; х2) = C(30/7; 48/7) nuqtalarida Z(х1;х2)= 3х1 - 2х2 funktsionalning qiymatlarini hisoblaymiz:
 А(х1;х2) = A(3/4; 9/2) да Z1(х1;х2)= 3х1 - 2х2 = 3·(3/4) - 2·(9/2) = -27/4;

 B(х1;х2) = B(3;3) да Z2(х1;х2)= 3х1 - 2х2 = 3·3 - 2·3 = 3;

 C(х1;х2) =C(30/7;48/7) да Z3(х1;х2)= 3х1 - 2х2 =3·30/7 -2·48/7 = - 6/7.

Zmin = 3х1 - 2х2 = - 27/4.

Topshiriqlar

Quyidagi chiziqli dasturlash masalalarida tengsizliklar sistemasidagi yarim tekisliklarni ifodalaydigan:

a) to’g’ri chiziqlarni yasang;
b) to’g’ri chiziqlarning kesishish nuqtalarini toping;
c) tengsizliklar hosil qiladigan yarim tekisliklarni yasang;
d) qavariq ko’pburchakning uchlarida maqsad funktsiyaning ekstremal qiymatlarini toping;
e) bajarilgan ishlar bo’yicha qisqacha xulosa yozing.

 3.8.1.	 3.8.2.	 3.8.3.
Zmax=х1 + 2х2 х1 + 4х2  14, 3х1 + 4х2  16, 5х1 + 4х2  18, -3х1 + 2х2  6. х1 0, х2 0. Ж.: Zmax=50/7. х1 =2/7, х2 = 24/7.	Zmin=х1 + 2х2 х1 + 4х2  14, 3х1 +4х2  16, 5х1 + 4х2  18, -3х1 + 2х2  6. х1 0, х2 0. Ж.: Zmin=6. х1 =0, х2 = 3.	Zmax=х1 + 2х2 х1 + 4х2  14, 3х1 +4х2  16, 5х1 + 4х2  18, -3х1 +2х2  6. х1 0, х2 0. Ж.: Zmax=70/9. х1 =4/9, х2 = 11/3.
 3.8.4.	 3.8.5.	 3.8.6.
Zmin=х1 + 2х2 х1 + 4х2  14, 3х1 +4х2  16, 5х1 + 4х2  18, -3х1 + 2х2  6. х1 0, х2 0. Ж.: Zmin=50/7 х1 =2/7, х2 = 24/7.	Zmax=3х1 + 4х2 х1 + 3х2  12, 2х1 + 4х2  9, 5х1 + 4х2  18, -3х1 + х2  10. х1 0, х2 0. Ж.: Zmax= 12 х1 = 3, х2 = ¾.	Zmax=3х1 + 4х2 х1 + 3х2  12, 2х1 + 4х2  9, 5х1 + 4х2  18, -3х1 + х2  10. х1 0, х2 0. Ж.: Zmax= 186/11 х1 = 6/11, х2 =42/11.