12-mavzu: Ratsional funksiyalarni integrallash. Trigonometrik va irratsional funksiyalarni integrallash. Reja

Misollar. 1. Ushbu integral hisoblansin.
 Yechilishi. Integral ostidagi to‘g‘ri kasrni sodda kasrlsrga yoyamiz:
,
,
,

,
.
Natijada
Yechilishi .
2. integralni hisoblang[6] .
Yechilishi. Ifoda maxrajini to‘liq kvadratgacha to‘ldiraylik
.
Shundan so‘ng quyidagi
va
almashtirishni bajarib, integrallaymiz:

Trigonometrik funksiyalarni integrallash.
Aytaylik, funksiya va lar ustida arifmetik amallar bajarilishidan hosil bo‘lsin.
Masalan,
, , .

Bunday funksiyalarni integrallash almashtirish bilan ratsional funksiyalarni integrallashga keladi. Bu almashtirish yordamida , lar ning ratsional funksiyalarga aylanadi:

,
,
.
Misollar. 1. Ushbu integral hisoblansin.
Yechilishi. Bu integralda almashtirish bajaramiz. Unda

bo‘lib,

.
2. Ushbu integral hisoblansin.
Yechilishi. Bu integralda ham almashtirish bajaramiz. Natijada
.
Ayrim hollarda trigonometrik funksiyalarni integrallashda

almashtirishlardan birini ishlatish qulay bo‘ladi.
Misol. Ushbu integral hisoblansin.
Yechilishi. Bu integralda almashtirish bajaramiz. U holda
,

bo‘lib,

.
Ushbu , va
ko‘rinishdagi integrallarni hisoblashda quyidagi
(1)
formulalardan foydaniladi.
Misol. Ushbu integral hisoblansin²
Yechilishi. (1) formuladan foydalanib topamiz:

.
a) Aytaylik, bo‘lsin. U holda
,

bo‘lib,

bo‘ladi.
b) Aytaylik, bo‘lsin. U holda



bo‘lib,

bo‘ladi.
Nazorat savollari

1. 
   Qanday ratsional kasrlarga eng sodda ratsional kasrlar deyiladi?
   
2. 
   Birinchi tipdagi eng sodda ratsional kasrlar qanday integralladi?
   
3. 
   Ikkinchi tipdagi eng sodda ratsional kasrlar qanday integralladi?
   
4. 
   Uchinchi tipdagi eng sodda ratsional kasrlar qanday integralladi?
   
5. 
   To`rtinchi tipdagi eng sodda ratsional kasrlar qanday integralladi?