13-ma’ruza. Funksiyaning differensiali. Yuqori tartibli hosilalar. Ikkinchi tartibli hosilaning fizik ma’nosi. Parametrik va oshkormas ko’rinishda berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi. Yuqori tartibli differensial

Differensialning geometrik ma’nosi. tenglama bilan egri chiziq berilgan 
bo‘lsin, bu yerda funksiya nuqtada differensiallanuvchi funksiya (1-
rasm). 
nuqtada bu egri chiziqqa urinma o‘tkazamiz. Egri chiziqda abssissasi 
bo‘lgan
nuqtani belgilaymiz. Ma’lumki, 
urinmaning burchak 
koeffisiyenti, ya’ni
.
uchburchakni qaraymiz. Rasmdan ko‘rinib turibdiki 

---

Shunday qilib, 
funksiyaning
differensiali egri 
chiziqqa abssissasi 
bo‘lgan nuqtaga o‘tkazilgan urinmaning urinish nuqtasidan
nuqtaga o‘tganda olgan orttirmasiga teng ekan. 
1-rasmdan va (3)-(5) tengliklardan
 
va orasidagi farqni tomoni bo‘lgan kvadrat yuzini aniqlaydigan
funksiya misolida ko‘ramiz (2-rasm). qiymatga orttirma berib tomoni
bo‘lgan kvadratni hosil qilamiz va uning yuzi
qiymatga teng. U holda 
funksiyaning 
orttirmasini geometrik talqin 
qilinsa, 2-rasmga ko‘ra 
va to‘g‘ri to‘rtburchaklar yuzlari yig‘indisiga 
teng. 
funksiyaning 
qtadagi differensiali va to‘g‘ri 
to‘rtburchaklar yuzxlari yig‘indisiga teng,
ayirma esa
kvadrat 
yuziga mos keladi. 
1 va 2-rasmlardan ko‘rinib turibdiki, 
orttirma qanchalik kichik bo‘lsa, va 
orasidagi farq shunchalik kichik bo‘ladi. 
Differensialni hisoblash qoidalari. 
funksiyaning differensiali
hosiladan faqat
ko‘paytuvchi bilangina farq qilganligi sababli, differensialni 
hisoblash uchun differensiallash qoidalaridan va elementar funksiyalar hosilalaring 
formulalaridan foydalanish mumkin.
1. 
2. 
3. 
4.
Differensialning taqribiy hisoblashlarga tadbiqi. 
funksiya nuqtada 
differensiallanuvchi bo‘lsin, u holda argumentning orttirmasiga mos keluvchi 
funksiyaning
orttirmasini 
ko'rinishda tasvirlash mumkin, bu yerda 
va dunksiya
nuqtada cheksiz kichik. 
Agar 
va demak
bo‘lsa, u holda 
1-rasm 
𝑄 
𝑃 
𝑀 
𝑀
 
𝜑 
𝑦 
𝑑𝑦 
𝑑𝑥 
𝑦 
𝑥+dx 
𝑥 
𝑥 
𝑂 
𝐴 
𝐵 
𝐷 
𝐶 
𝐸 
𝐾 𝐹 
𝑁 
𝐺 
𝑥 
𝑥 
2-rasm 

---

O‘ng tomondagi ikkinchi qo‘shiluvchi nuqtada cheksiz kichik, shu sababli 
, ya’ni va cheksiz kichiklar ekvivalent:
, ularning 
ayirmasi esa o‘zlariga nisbatan yuqoririoq tartibli cheksiz kichik. Shuning 
uchun 
orttirmaning taqribiy qiymati sifatida miqdorni olishimiz mumkin:
Shunday qilib, agar 
bo‘lsa, u holda funksiyaning nuqtadagi 
qiymatini hisoblash uchun 
(6) 
formuladan foydalanish mumkin. Bunda |
| etarlicha kichik bo‘lsa absolyut va nisbiy 
xatolik ham xoxlagancha kichik bo‘ladi.
Masalan, 
bo‘lsin. U holda
, 
| | kichik qiymatlarni qabul qilganda
yoki 
deb olamiz. Xususiy holda, 
bo‘lsa 
√ √
√ 
(7)