14-mavzu. Chekli o‘lchovli vektor fazo va asosiy tushunchalar. Qism fazolar

14-MAVZU. CHEKLI O‘LCHOVLI VEKTOR FAZO VA ASOSIY TUSHUNCHALAR. QISM FAZOLAR.
Aytaylik ixtiyoriy maydon, V- ixtiyoriy tabiatli elementlarning bo‘sh bo‘lmagan to‘plami bo‘lsin. maydon asosiy to‘plami ning elementlarini sonlar (vektor) ko‘rinishda belgilab, ularni vektorlar deymiz.
V to‘plamda qo‘shish (+) binar algebraik amal va V to‘plamning ixtiyoriy elementini songa (skalyarga) ko‘paytirish λ amali aniqlangan bo‘lsin.
4.5-ta’rif. Agar V to‘plamda aniqlangan qo‘shish (+) va songa ko‘paytirish amallari quyidagi shartlarni (vektor fazo aksiomalarini) qanoatlantirsa, u holda V ni F maydon ustidagi vektor (yoki chiziqli) fazo deyiladi:
1) uchun )= bo‘lsa;
2) uchun = ;
3) bo‘lsa;
4) +(- )=θ ;
` 5) ;
6) bo‘lsa ;
7) (λ+μ) bo‘lsa;
8)
gruppani vektor fazoning additiv gruppasi deyiladi.
MISOLLAR. 1. -haqiqiy sonlar maydoni bo‘lsin. Agar n N
qandaydir natural son bo‘lsa, da qo‘shish (+) va songa ko‘paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz:

Bo‘lsin, u holda


-haqiqiy sonlar maydoni ustida vektor fazo bo‘ladi. Uni haqiqiy sonlar maydoni ustidaga n o‘lchovli arifmetik vektor fazo deyiladi.
2. R[x]-haqiqiy sonlar maydoni ustidagi

ko‘rinishdagi hamma ko‘phadliklarning to‘plami bo‘lsin, n manfiy bo‘lmagan ixtiyoriy butun son. R[x]-da qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz:

bo‘lsin, u holda

Bu holda R[x] ham haqiqiy sonlar maydoni ustidagi vektor fazo bo‘ladi.
Agar m- ixtiyoriy tayinlangan natural son bo‘lsa, vektor fazoning

Vektorlarni birgalikda qarab, uni m ta vektorlarning sistemasi deyiladi.
4.5- ta’rif. Agar F maydon ustidagi V vektor fazoning (1) vektorlar sistemasi uchun bo‘lganda

tenglik faqat bo‘lgandaginabajariladigan bo‘lsa, u holda (1) vektorlar sistemasini chiziqli bog‘lamagan (chiziqli erkli) deyiladi, agarda (2) tenglik lardan aqalli bittasi noldan farqli bo‘lgandagina bajariladigan bo‘lsa, u holda (1) vektorlar sistemasi chiziqli bog‘langan (chiziqli erksiz) deyiladi.

kichik

Ifodani (1) vektorlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasi deyiladi

to‘plamni (1) vektorlar sistemasining chiziqli qlbig‘i deyiladi.
4.6- ta’rif. Aytaylik (1) va (4) lar V vektor fazo vektorlarining chekli sistemalari bo‘lsin. Agar (1) va (4) sistemalardan birining ixtiyoriy vektorini ikkinchi sistema vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi shaklmda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda (1) va (4) sistemalar ekvivalent (teng kuchli) deyiladi va (1) (4) ko‘rinishda yoziladi.
Vektorlar chekli sistemasi ustida elementar almashtirish deganda biz quyidagi almashtirishni tushunamiz:
a) vektorlar sistemasi biror vektorini noldan farqli songa ko‘paytirish;
b) vektorlar sistemasi biror vektorini noldan farqli songa ko‘paytirib bu sistemaning boshqa vektoriga qo‘shish;
v) vektorlar sistemasi ixtiyoriy ikkita vektorini o‘rinlarini almashtirish;
g) vektorlar sistemasidan nol vektorni chiqarish yoki sistemaga nol vektorni kiritish.
4.3- teorema. Vektorlar chekli sistemasi ustida chekli elementar almashtirishlar natijasida berilgan sistemaga ekvivalent sistema hosil bo‘ladi.
4.7- ta’rif. (1) vektorlar chekli sistemasiga ekvivalent bo‘lgan shu sistemani chiziqli erkli qism sistemasini (1) sistemaning bazisi deyiladi. (1) vektorlar sistemasining bazisiga kiruvchi (hamma) vektorlarning soni shu sistemaning rangi deyiladi.
n -o‘lchovli vektorlar chekli sistemasi ustida bir nechaelementar almashtirish natijasida quyidagi vektorlar sistemasini hosil qilish mumkin:

Bu joyda bu vektorlar sistemasi chiziqli erkli, rangi k ga teng.