15 mavzu: O`xshash almashtirish va gomotetiya. Ularning analitik ifodasi. O`xshash almashtirishni gomotetiya va harakat ko`paytmasi sifatida qarash. O`xshash almashtirish gruppasi va uning qism gruppasi

O’xshash almashtirish-gomotetiya bilan harakat ko’paytmasi sifatida.
1. Tekislikda R^k o’xshash almashtirish va G₀^K gomotetiya berilgan bo’lsin.
1-teorema. R^k o’xshash almashtirish G₀^k gomotetik almashtirish bilan L harakat ko’paytmasidan iborat.
Isboti. R^k o’xshash almashtirish tekislikning ixtiyoriy ikkita M va N nuqtalarini R^K(M)=M', R^K(N)=N' nuqnalarga o’tkazsa, u holda
(M',N')=k (M,N) (34.1)
Tekislikning biror O nuqtasiga nisbatan gomotetik G₀^k almashtirish M,N nuqtalarni G₀^k(M)=M" G₀^k(N)=N" nuqtalarga o’tkazsin, u holda gomotetiya ta’rifiga ko’ra (70-chizma) bundan,
(M",N'')=k (M,N) (34.2)
(34.1) va (34.2) dan L(M")= M', L(N") = N' ga o’tkazadi (70-chizma).
(M',N') = (M",N'') (34.3)
Demak, R^k=L G₀^k (70-chizma)
G₀^k almashtirishga teskari almashtirish gomotetik almashtirish bo’lib,
G₀^1/k(M'')=M, G₀^1/k(N'')=N
Avval G₀^1/k almashtirishni, songra R^k almashtirishni bajaraylik,(70-chizma)




shu bilan birga (M'',N'') = (M',N'), bundan R^kG₀^1/k ko’paytma harakat ekanini ko’ramiz. Demak, biz quyidagi natijaga ega bo’ldik.
Natija. Tekislikdagi O markazli koeffitsientli gomotetiya bilan k koeffitsientli o’xshash almashtirish kompozitsiyasi harakatdir. Bundan
R^k G₀^1/k = L R^k =L G₀^k
Gomotetiyaning analitik ifodasi.
T ekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Markazi koordinatalar boshida k0 koeffitsientli G₀^k gomotetik almashtirish tekislikning ixtiyoriy N(x,y) nuqtasini G^k₀(N)=N'(x',y') nuqtasiga o’tkazsin (71-chizma). Gomotetiya ta’rifiga ko’ra


ON' = kON
bundan
x' = kx;
y' = ky (35.1)
(35.1) formula markazi koordinatalar boshida bo’lgan k koeffitsientli gomotetiyaning analitik ifodasi.
Markazi O'(a,b) nuqtada bo’lgan G₀^k gomotetik almashtirish formulasini chiqaraylik.
Buning uchun (xoy) to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish natijasida hosil bo’lgan (x'o'y') to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasiga e’tibor beraylik. (72-chizma).
Y angi (x'o'y') koordinatalar sistemasida N(X;Y), N'(X';Y') koordinatalarga ega bo’lsin.
G₀^k(N) = N' => O'N' = kON, bundan
X' = kX;
Y' = kY. (35.2)
Parallel ko’chirish formulasidan foydalansak
X = x+a; X'=x'+a
Y =y+b; Y' = y'+b (35.3 )
(35.2) va (35.3) lardan foydalanib,
x' = kx + a(k-1);
y' = ky + b(k-1) (35.4)
Bu formula markazi O' nuqtada k koeffitsientli gomotetiyaning analitik formulasi.
Agar k=1 bo’lsa, (35.4) formulada x'=x; y'=y ayniy almashtirish formulasi hosil bo’ladi.