15 mavzu: O`xshash almashtirish va gomotetiya. Ularning analitik ifodasi. O`xshash almashtirishni gomotetiya va harakat ko`paytmasi sifatida qarash. O`xshash almashtirish gruppasi va uning qism gruppasi

O’xshash almashtirishning analitik ifodasi.
R^k o’xshash almashtirishning analitik ifodasini topaylik. Yuqoridagi
1-teoremaga ko’ra R^k ni gomotetiya va harakat kompozitsiyasi sifatida qarash mumkin, ya’ni
R^k = L G^k
Koordinatalar boshini G^k gomotetiya markazi, N(x,y) nuqtaning aksini
G₀^k(N) = N*(x*,y*) deb olsak u holda
(36.1)
L(N*)=N'(x',y') o’tkazsin, harakat formulasidan foydalanib ushbu:
(36.1)
bu yerda a,b lar O nuqta aksining koordinatalari. Ya’ni L(0) = O'(a;b).
(35.4) va (36.1) lardan ni hosil qilamiz.
Shunday qilib quyidagi teoremaga ega bo’ldik.
2-teorema. Tekislikdagi har bir o’xshash almashtirish, to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida,
(36.2)
formula bilan ifodalanadi.
Teskari teorema ham o’rinli bo’ladi:
3-teorema.
(36.3)
bunda  = ±1 va a₁²+a₂²≠0, formula k= koeffitsientli o’xshash almashtirishni aniqlaydi.
Isboti. (36.3) formuladan N(x,y) nuqtaga mos N'(x',y') nuqtani bir qiymatli aniqlab qolmay, balki N'(x',y') nuqta berilsa N(x,y) nuqtani ham bir qiymatli aniqlash mumkin, chunki

Agar A(x₁;x₂) → A'(x';y'), B(x₂;y₂) → B'(x';y') nuqtaga almashtirilsa, u holda
=


Demak, ixtiyoriy A, B nuqtalar va ularning A', B' obrazlari uchun
(A',B') = k (A,B)
Agar a₂ = 0 bo’lsa (36.3) formula harakatni aniqlaydi. Buning to’g’riligini talabalar o’zlari isbotlashi mumkin.
O’xshash almashtirish, isbotlashga, yasashga, hisoblashga doir masalalarni yechishda muhim ahamiyat kasb etadi.