Isboti. f(x) aynan nolga teng bo‘lmaganligi sababli [a;b] kesmada shunday nuqta topilib, bu nuqta uchun f()>0 bo‘ladi. f(x) ning uzluksizligiga ko‘ra ning shunday (;) atrofi mavjudki, (;)[a;b] va bu oraliqning barcha nuqtalari uchun ham f(x)>0 o‘rinli bo‘ladi. U holda = + + va 60-xossadan kelib chiqadi. f(x) uzluksiz bo‘lgani uchun da u eng kichik qiymatga erishadi. Bu eng kichik qiymatni m bilan belgilaymiz. da f(x)>0 bo‘lganligi uchun m>0 bo‘ladi. Shuning uchun
= m( ) >0,
va bundan >0 kelib chiqadi. 1
1-izoh. Umumiy holda 60-xossadagi tengsizlik qat’iy bo‘la olmaydi. Haqiqatdan ham,
funksiya 60 xossadagi shartlarni qanoatlantiradi. Shu bilan birga
ya’ni (qat’iy tengsizlik bajarilmaydi).
>0 bo‘lishi uchun f(x) funksiya [a;b] kesmada 80 xossa shartlarini qanoatlantirishi yetarli.
90. Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi va
tengsizlik o‘rinli.
Isboti. f(x) funksiya [a;b] da integrallanuvchi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy >0 son olinganda ham shunday >0 son topiladiki, < bo‘lgan har qanday bo‘linishga nisbatan
bo‘ladi. Ravshanki, lar uchun
tengsizlik o‘rinli bo‘lib, undan quyidagi
tengsizlik kelib chiqadi. Demak, tengsizlik o‘rinli, bunda - funksiyaning [xk-1;xk] dagi tebranishi. Natijada
<
bo‘ladi. Bundan esa funksiyaning [a;b] kesmada integrallanuvchiligi kelib chiqadi.
Shuningdek,
tengsizlikda 0 da limitga o‘tsak, izlanayotgan tengsizlik kelib chiqadi.
2-izoh. f(x) funksiya [a;b] da integrallanuvchi bo‘lsa, u holda ham integrallanuvchi bo‘lishini ko‘rib o‘tdik. Bunga teskari bo‘lgan xulosa, umuman aytganda, noto‘g‘ri bo‘ladi. Masalan,
funksiya uchun
Demak, [a;b] da funksiya integrallanuvchi bo‘ladi, lekin f(x) ning o‘zi Dirixle funksiyasi kabi integrallanuvchi emas.
100. (Aniq integralni baholash) Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada integrallanuvchi va m f(x) M bo‘lsa, u holda
m(b-a) M(b-a) (2)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. Shartga ko‘ra ixtiyoriy x[a;b] uchun m f(x) M. Bu tengsizlikka 70 xossani, so‘ngra 20 va 10 xossalarni tatbiq etamiz:
m(b-a) M(b-a). 4-rasm
4-rasmda [a,b] da f(x)0 bo‘lgan hol uchun 100 xossaning geometrik talqini berilgan. aA1B1b to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi m(b-a) ga, aA2B2b to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi M(b-a) ga teng. (2) tengsizlikdan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi birinchi to‘g‘ri to‘rtburchak yuzidan kichik emas, ikkinchi to‘g‘ri to‘rtburchak yuzidan katta emasligi kelib chiqadi.
1-misol. integralni baholang.
Yechish. [0;1] kesmada tengsizlik o‘rinli. Bundan ekanligi kelib chiqadi. (2) formulaga ko‘ra yoki
2-misol. va integrallarni solishtiring.
Yechish. [0;1] kesmada bo‘lganligi sababli bo‘ladi.
Dostları ilə paylaş: |