Aniq integralning xossalari O‘rta qiymat haqidagi teoremalar Misollardan namunalar
16-Mavzu: Aniq integralning xossalari. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar.
Reja:
Aniq integralning xossalari
O‘rta qiymat haqidagi teoremalar
Misollardan namunalar.
Avval aniq integralning tenglik bilan ifodalanadigan xossalarini qaraymiz.
10. .
Isboti. Haqiqatan ham, bunda f(x)=1 va ta’rifga ko‘ra
bo‘ladi.
20. Agar f(x) funksiya [a;b] da integrallanuvchi bo‘lsa, u holda kf(x) (k=sonst) ham integrallanuvchi va
bo‘ladi.
Isboti. Haqiqatan, .
Demak, mavjud va uning qiymati ga teng.
30. Agar f1(x) va f2(x) funksiyalar [a;b] da integrallanuvchi bo‘lsa, u holda f1(x) f2(x) ham [a;b] da integrallanuvchi va
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. Bu xossa avvalgi xossa kabi isbotlanadi. Bu xossa qo‘shiluvchilar soni chekli (ikkitadan ko‘p) bo‘lganda ham o‘rinli bo‘ladi.
40. , ya’ni integrallash chegaralari o‘rnini almashtirsak, aniq integral ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartadi.
Isboti. integral a<b hol uchun aniqlangan edi. Agar a>b bo‘lsa, 40 xossa aniq integral ta’rifiga qo‘shimcha sifatida qaraladi. Bu xossani quyidagicha talqin qilish mumkin: va integrallari ishorasi bilan farq qiladigan integral yig‘indilarning limiti bo‘ladi.
50. (Aniq integralning additivlik xossasi) Agar f(x) funksiya uchun mavjud bo‘lsa, u holda quyidagi tenglik o‘rinli bo‘ladi:
(1)
Isboti. am bo‘linish nuqtalaridan biri bo‘lsin. U holda
va
bo‘lgani uchun bu yerdan (1) kelib chiqadi.
Agar a < b < c bo‘lsa, u holda
bo‘lib, bundan bo‘ladi.
Shunday qilib, c nuqta [a;b] ning ichki yoki tashqi nuqtasi bo‘lishidan qat’iy nazar (1) tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Endi aniq integralning tengsizlik bilan ifodalanadigan xosslarini o‘rganamiz.
60. Agar [a;b] da f(x) integrallanuvchi va f(x)0 bo‘lsa, u holda 0 bo‘ladi.
Isboti. f()0 , k=1,2,...,n va xk=xk-xk–1 >0 bo‘lgani uchun
xk0 bo‘ladi. Bu tengsizlikda limitga o‘tsak
= 0
kelib chiqadi.
70. (Aniq integralning monotonlik xossasi) Agar [a;b] da f(x) va (x) lar integrallanuvchi va (x)f(x) bo‘lsa, u holda
(x)dx (x)dx
bo‘ladi.
3-rasm
Isboti: [a;b] ning ixtiyoriy bo‘linishi uchun , k=1, 2, ..., n. Demak, bo‘ladi. Bundan
, yoki (x)dx (x)dx kelib chiqadi.
3-rasmda 70 xossaning geometrik talqini berilgan. (x)f(x) bo‘lganligi sababli aA2B2b egri chiziqli trapetsiyaning yuzi aA1B1b egri chiziqli trapetsiyaning yuzidan katta emas.
80. Agar [a;b] da f(x) uzluksiz bo‘lib, f(x)0 va f(x) aynan nolga teng bo‘lmasa, u holda >0 bo‘ladi.
Dostları ilə paylaş: |