16-Mavzu: Aniq integralning xossalari. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar. Reja

Isboti. f(x) aynan nolga teng bo‘lmaganligi sababli [a;b] kesmada shunday  nuqta topilib, bu nuqta uchun f()>0 bo‘ladi. f(x) ning uzluksizligiga ko‘ra  ning shunday (;) atrofi mavjudki, (;)[a;b] va bu oraliqning barcha nuqtalari uchun ham f(x)>0 o‘rinli bo‘ladi. U holda = + + va 6⁰-xossadan  kelib chiqadi. f(x) uzluksiz bo‘lgani uchun da u eng kichik qiymatga erishadi. Bu eng kichik qiymatni m bilan belgilaymiz. da f(x)>0 bo‘lganligi uchun m>0 bo‘ladi. Shuning uchun

 = m( ) >0,

va bundan  >0 kelib chiqadi. ¹

1-izoh. Umumiy holda 6⁰-xossadagi tengsizlik qat’iy bo‘la olmaydi. Haqiqatdan ham,

funksiya 6⁰ xossadagi shartlarni qanoatlantiradi. Shu bilan birga

ya’ni (qat’iy tengsizlik bajarilmaydi).

>0 bo‘lishi uchun f(x) funksiya [a;b] kesmada 8⁰ xossa shartlarini qanoatlantirishi yetarli.
9⁰. Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiya ham shu kesmada integrallanuvchi bo‘ladi va

tengsizlik o‘rinli.


Isboti. f(x) funksiya [a;b] da integrallanuvchi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy >0 son olinganda ham shunday >0 son topiladiki, < bo‘lgan har qanday bo‘linishga nisbatan

bo‘ladi. Ravshanki, lar uchun

tengsizlik o‘rinli bo‘lib, undan quyidagi

tengsizlik kelib chiqadi. Demak, tengsizlik o‘rinli, bunda - funksiyaning [x_k-1;x_k] dagi tebranishi. Natijada
<
bo‘ladi. Bundan esa funksiyaning [a;b] kesmada integrallanuvchiligi kelib chiqadi.
Shuningdek,

tengsizlikda 0 da limitga o‘tsak, izlanayotgan tengsizlik kelib chiqadi.


2-izoh. f(x) funksiya [a;b] da integrallanuvchi bo‘lsa, u holda ham integrallanuvchi bo‘lishini ko‘rib o‘tdik. Bunga teskari bo‘lgan xulosa, umuman aytganda, noto‘g‘ri bo‘ladi. Masalan,

funksiya uchun

Demak, [a;b] da funksiya integrallanuvchi bo‘ladi, lekin f(x) ning o‘zi Dirixle funksiyasi kabi integrallanuvchi emas.
10⁰. (Aniq integralni baholash) Agar f(x) funksiya [a;b] kesmada integrallanuvchi va m f(x) M bo‘lsa, u holda

m(b-a) M(b-a) (2)

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.


Isboti. Shartga ko‘ra ixtiyoriy x[a;b] uchun m f(x) M. Bu tengsizlikka 7⁰ xossani, so‘ngra 2⁰ va 1⁰ xossalarni tatbiq etamiz:

m(b-a) M(b-a). 4-rasm

4-rasmda [a,b] da f(x)0 bo‘lgan hol uchun 10⁰ xossaning geometrik talqini berilgan. aA₁B₁b to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi m(b-a) ga, aA₂B₂b to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi M(b-a) ga teng. (2) tengsizlikdan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi birinchi to‘g‘ri to‘rtburchak yuzidan kichik emas, ikkinchi to‘g‘ri to‘rtburchak yuzidan katta emasligi kelib chiqadi.

1-misol. integralni baholang.

Yechish. [0;1] kesmada tengsizlik o‘rinli. Bundan ekanligi kelib chiqadi. (2) formulaga ko‘ra yoki
2-misol. va integrallarni solishtiring.

Yechish. [0;1] kesmada bo‘lganligi sababli  bo‘ladi.