17-Ma’ruza Egri chiziqli integrallar va ularni hisoblash. Ma’ruza rejasi

2-Misol. 
egri chiziqli integralni hisoblang, bu yerda vint chizig‘i 
deb ataluvchi burama chiziqning birinchi buramasi (3-rasm):
{
►Hosilalarni topamiz: 
( ) ,
( )
,
( ) . U holda (13) formulaga ko‘ra 
(
)
√ 
(
)
√ 
√ 
|
√ 
◄ 
I tur egri chiziqli integralning tadbiqlari. 
Moddiy chiziqning massasi. 
egri chiziqda aniqlangan ( ) funksiya egri 
chiziq bo‘ylab taqsimlangan massaning zichligini bersin. 
egri chiziqni katta 
sondagi
elementar yoylarga bo‘lganda, har bir
yoyning barcha nuqtalarida zichlik o‘zgarmas va bu yoyning ixtiyoriy 
( 
) 
nuqtasidagi 
( 
) zichlikka taqriban teng deb olish mumkin.
orqali 
elementar yoyning uzunligini belgilab, bu yoy massasi uchun 
( 
)
taqribiy tenglikni yozish mumkin. U holda 
egri chiziqning massasi uchun 
( 
)
taqribiy tenglik o‘rinli bo‘ladi. Elementar yoylarning 
uzunligi qanchalik kichik 
bo‘lsa bu taqribiy tenglikdagi xatolik shunchalik kichik bo‘ladi. Shuning uchun 
egri chiziqning 
massasi sifatida
( 
)
limitning qiymatini olish mumkin. 
Egri chiziq massasining mazkur ta’rifini I tur egri chiziqli integral ta’rifi 
bilan taqqoslab 
( )
( ) (14) 
formulani hosil qilamiz. Fazoviy 
egri chiziq bo‘lganda uning massasi uchun 
shunga o‘shash 
( )
( ) (15) 
formula o‘rinli bo‘ladi. 
3-Misol. Vint chizig‘ining 
nuqtadagi ( ) zichligi bu nuqtaning radius-
vektoriga praporsional bo‘lsa, chiziq bitta buramasining 
massasini toping. 
3-rasm 

---

► Biz yuqorida bu chiziqni qaradik (3-rasm). Uning bitta buramasi 
, 
, tengliklar va shart bilan ( ) nuqtadagi 
zichlik esa shartga ko‘ra
( ) √ 
tenglik bilan aniqlanadi, 
bu yerda 
praporsionallik koeffisiyenti. U holda (13) va (15) formulalarga ko‘ra 
( )
√ 
√ 
√ 
√ 
(
√ 
. √ 
/)|
√ 
( √ 
√ 
)
◄ 
Moddiy chiziqning statik va inersiya momentlari va og‘irlik markazining 
koordinatalari. Fazoviy 
egri ciziqning zichligi ( ) funksiya bilan 
berilgan bo‘lsin. 
chiziqni
,
,…, 
nuqtalar yordamida 
uzunliklari 
bo‘lgan 
ta
elementar yoylarga bo‘lamiz. Bo‘linishlar 
shunchalik kichkki, bunda bitta elementar yoydagi zichlik o‘zgarmas va u bu 
elementar yoyning 
( 
) nuqtasidagi ( 
) zichlikka teng deb faraz 
qilamiz. Bu holda 
elementar yoyni uning 
( 
) nuqtasi bilan 
almashtirish mumkin va bu nuqtada butun 
( 
)
massa jamlangan 
bo‘ladi. Shuning uchun 
egri chiziqning , , tekislikliklarga 
nisbatan statik momentlarini
( 
)
, 
( 
)
, 
( 
)
taqribiy tengliklar bilan aniqlash mumkin. Bu yerda ham 
*
+ eng katta 
yoy uzunligini nolga intiltirib statik va inersiya momentlarini I tur egri chiziqli 
integral yordamida hisoblanuvchi 
( ) ,
( ) ,
( ) (16) 
formulalarni hosil qilamiz. Xuddi shu singari mulohaza yuritib, 
egri chiziqning 
bu tekisliklarga nisbatan inersiya momentlar uchun mos ravishda 
( ) ,
( ) ,
( ) (17) 
formulalarni hosil qilish mumkin.
egri chiziqning o‘qqa nisbatan
inersiya momenti 
tenglik vilan hisoblanadi, boshqacha qilib aytganda 
( 
) ( ) (18) 
formula bilan hisoblanadi. Xuddi shu singari 
va o‘qlarga nisbatan inersiya 
momentlari uchun 
( 
) ( ) ,
( 
) ( ) (19) 
formulalar o‘rinli. 

---

egri chiziq ( 
) og‘irlik markazining koordinatalari
tengliklarga ko‘ra topiladi. (15) va (16) formulalarni inobatga olsak 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(20) 
formulalarga ega bo‘lamiz. 
( ) zichlik funksiyaga ega bo‘lgan tekislikda yotuvchi egri 
chiziq uchun 
va o‘qlarga nisbatan statik va inersiya momentlari mos 
ravishda 
( ) ,
( ) ,
( ) ,
( )
formulalarga ko‘ra hisoblanadi. Uning og‘irlik markazi koordinatalari esa 
( )
( )
( )
( )
formulalar bilan topiladi.