2-Ma’ruza: Katta sonlar qonuni. Chebishev teoremasi va tengsizligi. Katta sonlar qonunining tadbiqlari. Reja

Katta sonlar qonuni

Ushbu ma’ruzada tasodifiy miqdorlar o`rfa arifmetigining dagi limit holati o`rganiladi. Keltirilgan natijalar yaqinlashish turlariga, ehtimol bo`yicha yaqinlashish yoki deyarli muqarrar yaqinlashishga bog`liq ravishda ikki qismga ajratilgan.

1. Katta sonlar qonuni (KSQ)
(Ω, A, P) – ihtiyoriy ehtimollar fazosida tasodifiy miqdorlar ketma – ketligi berilgan bo`lsin.
1-Ta’rif. Agar
, (1)
ya’ni ihtiyoriy uchun

bo`lsa, u holda tasodifiy miqdorlar ketma – ketligi katta sonlar qonuniga
bo`ysunadi deyiladi.
1-Teorema. tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi katta sonlar qonuniga bo`ysunishi uchun
(2)
shartning bajarilishi zarur va etarli.
Isboti. Zarurligi. Belgilash kiritamiz:
.
(1) shart bajarilsin ya’ni munosabat o`rinli bo`lsin. U holda ihtiyoriy uchun

,
bundan (2) munosabat kelib chiqadi.
Yetarliligi. (2) shart o`rinli, ya’ni

bo`lsin. U holda

.
Teorema isbot bo`ldi.
2-Teorema (Markov). Agar
(3)
bo`lsa, u holda tasodifiy miqdorlar ketma – ketligi katta sonlar qonuniga bo`ysunadi.
Isboti. Bu teorema 1-teoremaning natijasidan iborat. Haqiqatan ham

bo`lgani sababli, (3) munosabatga ko`ra, (2) shartning o`rinli ekanligi kelib chiqadi.
3-Teorema (Chebishev). tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bog`liqsiz va ihtiyoriy sonlar uchun shartni qanoatlantiruvchi o`zgarmas son mavjud bo`lsin. U holda tasodifiy miqdorlar ketma – ketligi katta sonlar qonuniga bo`ysunadi.
Teoremaning isboti Chebishev tengsizligidan bevosita kelib chiqadi: ihtiyoriy musbat son bo`lsin. U holda

Izoh. 3-Teorema o`rinli bo`lishi uchun

shart bajarilishi etarli. Agar

bo`lsa, bu shart bajariladi, chunki Shtols¹ teoremasiga asosan
.
Misol-1. 3-Teorema 1-teoremaning natijasi ekanligini isbotlang.