2-ma’ruza. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. Laplas teoremasi. Determinantni satr yoki ustun elementlari bo’yicha yoyish. Reja

Laplas teoremasi


Lemma. minorning istalgan hadini shu minorga mos algebraik to’ldiruvchining istalgan hadiga ko’paytirsa, D determinantning hadi hosil bo’ladi.

Laplas teoremasi. - tartibli D determinantda istalgan ta satr (yoki ustun) ni ajratamiz . Bu ajratilgan satr (yoki ustun) larning elementlaridan tuzilgan hamma k- tartibli minorlarni o’z algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirib natijalarni qo’shsak, yig’indi D determinantga teng bo’ladi.
Isboti. determinantda, masalan, qandaydir ta satrni ajratib, ulardan mumkin bo’lgan hamma tartibli minorlarni tuzaylik:

Bu minorlarning algebraik to’ldiruvchilari mos ravishda A_1, A₂ ,..., A_t bo’lsin. Ushbu

(1)
yig’indining D determinantga tengligini ko’rsatish kerak. Lemmaga binoan, har qaysi M_i A_i ko’paytmaning hadlari D ning hadlaridan iborat. Shu bilan birga, hech qaysi ikki va ko’paytma o’xshash hadlarga ega emas, chunki va minorlar bir-biridan aqalli bitta ustun bilan farq qiladi. Shunday qilib, (1) yig’indi determinantning o’xshashmas hadlaridangina tuzilgan.

Endi (1) yig’indida hadda n! ta had borligini isbot qilishgina qoladi.

Har bir minor k – tartibli determinant bo’lgani uchun, k! ta hadga ega. Uning algebraik to’ldiruvchisi esa (n-k) tartibli determinant bo’lib, ta hadga ega. Demak (1) yigindida k! (n-k)! t ta had bor. Endi, t ning nimaga tengligini topamiz. Ajratilgan k ta satrdan tuziladigan M_i minorlarining soni n ta raqamdan k tadan olib tuzilgan kombinasiyalarning soniga teng, ya’ni

shunday qilib, (1) yig’indidagi hamma hadlarning soni

shu bilan,

tenglik isbotlanadi. Bu teorema, D determinantning k- tartibli minorlari buyicha yoyish qoidasini beradi.

Misol. Ushbu:
determinantni 2-tartibli minorlar bo’yicha yoyaylik. Determinantda, masalan, 1 va 2 satrlarni ajratsak, ularning elementlaridan, hammasi bo’lib

ta 2- tartibli minor tuziladi. Laplas teoremasiga asosan quyidagini hosil qilamiz: