2-mavzu Matritsa rangi. Matritsa rangini hisoblash usullari. Тескари матрицани ҳисоблаш усуллари. Reja

6.Teskari matritsa mavjudligining zaruriy va etarli sharti.
1-teorema. kvadrat matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lishi uchun matritsa xosmas matritsa bo‘lishi zarur va etarli.
Isbot. Zaruriyligi: Faraz qilaylik matritsa uchun teskari matritsa mavjud bolsin, u holda determinantning xossasiga ko‘ra, boʻladi. Bundan, agar teskari matritsa mavjud boʻlsa ekanligini kelib chiqadi.
Etarliligi: Faraz qilaylik A n tartibli kvadrat matritsa bo‘lib, bo‘lsin.. matritsaga qo‘shma matritsani quramiz



va matritsalar ko‘paytmasini qaraymiz:


.


ko‘paytmaning har bir elementi



yigindidan iborat bo‘ladi. U holda Laplas teoremasi va uning natijasiga ga ko‘ra


,
Qaysiki, bu yerda

Bundan va matritsalar ko‘paytmasi, quyidagi skalyar matritsaga teng boladi.


.

Bundan,
. (*)

Xuddi shu usulda
(**)
Tenglikni keltirib chiqarish mumkin. U holda (*) va (**) tengliklardan
,
yoki


(***)

Kelib chiqadi. Haqiqatan ham (*) dan

,
va (**) dan bu qurilgan matritsa matritsaga teskari matritsa bo‘ladi, ya’ni
.
Teorema isbotlandi.
Yuqoridagi (***) tenglik teskari matritsani hisoblash qoidasini beradi.
Izoh. Teskari matritsa yagona bo‘ladi. Haqiqatan, agar biz matritsaga teskari boshqa bir matritsa mavjud desak, ya’ni 1) bo‘lsa, u holda bu tenglikni chap tarafdan matritsaga ko‘paytirib , 2) bo‘lsa, u holda bu tenglikni o‘ng tarafdan matritsaga ko‘paytirib ga ega bo‘lamiz.