2-mavzu: tasodifiy miqdorlar va ularning sonli xarakteristikalari

1-natija.Bir nechta o`zaro erkli tasodifiy miqdorlar yig`indisining dispersiyasi bu miqdorlarning dispersiyalari yig`indisiga teng.
Masalan,uchta qo`shiluvchi uchun

Ixtiyoriy sondagi qo`shiluvchilar uchun isbot mtematik induksiya metodi bilan olib boriladi,
2-natija.O`zgarmas miqdor bilan taodifiy miqdor yig`indisining dispersiyasi tasodifiy miqdorning dispersiyasiga teng:

Isboti. C va X miqdorlar o`zaro erkli,shuning uchun uchinchi xossaga asosan:

Birinchi xossaga asosan D(C)=0 .Demak,

X va X+C miqdorlar faqat sanoq boshi bilan farq qilishi ,va demak, ular o`zlarining matematik kutishlari atrofida bir xil tarqoqligini e`tiborga olsak, xossa tushunarli bo`ladi.
4-xossa.Ikkita erkli tasodifiy miqdor ayirmasining dispersiyasi ularning dispersiyalari yig`indisiga teng:

Isboti.Uchinchi xossaga asosan:

Ikkinchi xossaga asosan :

yoki

Bir xil taqsimlangan va demak ,bir xil xarakteristikalarga ( matematik kutilish dispersiya va boshqalar ) ega bo`lgan o`zaro erkli n ta tasodifiy miqdorlarni qaraylik.Shu miqdorlarning arifmetik o`rtacha qiymatining sonli xarakteritikalarini o`rganish katta ahamiyayga ega.Biz bu paragrafda shu masala bilan shug`ullanamiz.

Qaralayotgan tasodifiy miqdorlarning arifmetik qiymatini orqali belgilaymiz:

Quyidagi uch holat _{ } arifmetik o`rtacha qiymatning sonli xarakteristikalari orasida aloqa o`rnatadi.

1.O`zaro erkli va bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlarning arifmetik o`rtacha qiymatining matematik kutilishi har bir miqdorning matematik kutilishi a ga teng:

Isboti.Matematik kutilish xossalaridan ( o`zgarmas ko`paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin; yig`indining matematik kutilishi qo`shiluvchilarning matematik kutilishlari yig`indisiga teng) quyidagi xossani hosil qilamiz:

Miqdorlardan har birining matematik kutilishi a aga tengligini nazarga olib, quyidagini hosil qilamiz:

2.N ta o`zaro erkli,bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar arifmetik o`rtacha qiymatining dispersiyasi miqdorlardan har birining D dispersiyasidan n marta kichik:
(*)
Isboti.Dispersiya xossalaridan foydalanib ( o`zgarmas ko`paytuvchini dispersiya belgisidan tashqariga kvadratga oshirib chiqarish mumkin ; erkli miqdorlar yig`indisining dispersiyasi qo`shiluvchilar dispersiyalari yig`indisiga teng ,quyidagini hosil qilamiz:

3. Miqdorlardan har birining dispersiyasi shartga ko`ra D ga tengligini e`tiborga olib,quyidagini hosil qilamiz:

n ta o`zaro erkli ,bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar arifmetik o`rtacha qiymatining o`rtacha o`rtacha kvadratik chetlanishi shu miqdorlardan har birining o`rtacha kvadratik chetlanishi dan marta kichik:


(**)
Isboti . bo`lgani uchun ning o`rtacha kvadratik chetlanishi

(*) va (**) formulalardan kelib chiqadigan umumiy xulosa:dispersiya va o`rtacha kvadratik chetlanish tasodifiy miqdorning tarqoqlik o`lchovlari bo`lgani uchun yetarlicha katta sondagi o`zaro erkli tasodifiy miqdorlarning arifmetik o`rtacha qiymati har bir miqdorga qaraganda ancha kichik tarqoqlikka ega .