2-Mavzu: Uzluksiz va munosib kasrlar, ularning xossalari Mavzu rejasi

Chekli uzluksiz kasrlar Uzluksiz kasr

2-Mavzu: Uzluksiz va munosib kasrlar, ularning xossalari
Mavzu rejasi: Ratsional sonlarni chekli zanjir kasr ko‘rinishida ifodalash. Munosib kasrlar va ularning asosiy xossalari.
Chekli uzluksiz kasrlar


Uzluksiz kasr (zanjir kasr) — sonlarni tasvirlash usullaridan biri.
Har bir a haqiqiy songa qiymati shu a dan iborat yagona Uzluksiz kasr moye keladi. Agar aratsional son boʻlsa, unga moye Uzluksiz kasr chekli boʻladi va aksincha. Agar airratsional son boʻlsa, unga moye Uzluksiz kasr cheksiz boʻladi va aksincha.
bo’lsin.
(1)
Ifoda zanjir(uzluksiz) kasr, lar zanjir kasrning elementlari deyiladi. Sodda holda Kabi yoziladi. Agar zanjirli kasr elemenlari soni chekli bo’lsa, u holda chekli zanjrli kasr (2) deyiladi va tarzda belgilanadi.
(2)
Quyida haqiqiy sonlarni zanjirli kasrlarga yoyishga oid bir nechta nostandart misollarni keltiramiz.
1-misol. ni zanjirli kasrga yoying.

Shunday qilib, .

Agar – qisqarmas kasr (to’g’ri yoki noto’g’ri) bo’lsa, bu kasrni Yevklid algoritmi yordamida quyidagi ko’rinishda tasvirlash mumkin:
bu yerda q₀ – butun nomanfiy son; q₁, q₂,…, q_n – butun musbat sonlar.

Bu tenglikning o’ng tomonida yozilgan kasr chekli uzluksiz kasr yoki zanjirli kasr deyiladi.

Bu kasrlarni qisqacha

ko’rinishda yozish mumkin.

Yevklid algoritmidagi q₁, q₂,…,q_n lar uzluksiz zanjirning maxrajlari; q₀, q₁, q₂,…, q_n-1 – to’liqmas bo’linmalar; q₀, q₁, q₂,…, q_n lar esa aniq bo’linmalar deyiladi.
lar munosib kasrlar deyiladi va .
Munosib kasrlar va kasr orasida quyidagi munosibatlar o’rinli:

Bu tengsizliklardan berilgan kasr ikkita qo’shni munosib kasrlar orasida joylashganligi va tartib oshgani sari bu qo’shni kasrlar intervali kichrayib borishi ko’rinyapti. Shuning uchun ham bunday kasrlar «munosib kasrlar» deyiladi.

Ketma-ket uchta munosib kasrlar suratlari va maxrajlari k = 2 dan boshlab quyidagi bog’lanish o’rinli:

Agar shartli ravishda P_-1=1, Q_-1= 0, Q₀ = 1 qabul qilsak, u holda barcha munosib kasrlarni quyidagi sxema yordamida topish mumkin:

k		0	1	2	…	k	…	n
qk		q0	q1	q2	…	qk	…	qn
Pk	1	P0 = q0