21-ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. Reja
Yüklə 481,78 Kb.
|
|
TEOREMA. Tenglamalar sistemasi ustida elementar almashtirishlar bajarilsa, berilgan sistemaga teng kuchli sistema hosil bo‘ladi. (1) sistema ustida elementar almashtirishlarni ketma – ket bajarib (1) sistemani quyidagi «Trapetsiya» ko‘rinishga keltiriladi:
(4) bu joyda TEOREMA. Agar bo‘lsa. (4) birlashmagan, bo‘lsa, (4) sistema birlashgan aniq, bo‘lsa, (4) sistema birlashgan aniqmas bo‘ladi. Agar (4) birlashgan aniq sistema bo‘lsa, u holda (4) sistemaning n – tenglamasidan xn ni (n-1) – tenglamasidan xn-1 ni, ..., 1-tenglamasida, x1 ni qiymatlari: larni ketma-ket topiladi. elementlar sistemasi (4) tenglamalar sistemasining (o‘z navbatida unga teng kuchli bo‘lgan (1) sistemaning) birlashgan aniqmas (k ko‘rinishda yozamiz. Bu sistemadagi noma’lumlarni ozod noma’lumlar (parametrlar) larni asosiy noma’lumlar deyiladi. larga ixtiyoriy qiymatlarni cheksiz ko‘p berish mumkin, demak, lar uchun ham ( larga mos keluvchi) cheksiz ko‘p qiymatlar topiladi. SHunday qilib, bu holda (4) sistemaning (unga teng kuchli (1) sistemaning) cheksiz ko‘p echilmalari mavjud bo‘lar ekan. Agar (1) sistemada b1=b2=...=bm=0 bo‘lsa, unday sistemani birjinsli deyiladi. Birjinsli sistemalar hamma vaqt birgalashgan bo‘ladi. CHunki x1=x2=...=xm=0 uning echilmasi bo‘lib, bu bir jinsli sistemani ham Gauss usuli bilan echiladi. Ushbu mxn -chiziqli tenglamalar sistemasi (ChTS.) a11 x1 +a12 x2 + ....+ a1n xn = b1 a21 x1 +a22 x2 + ....+ a2n xn = b2 .................................................. (1) am1 x1 +am2 x2 + ....+ amn xn = bm berilgan bo'lsin.Uni Gauss usuli bilan yechish uchun uning Ixtiyoriy bir (masa lan birinchi) tenglamasini yezib olamiz va qolgan tenglamalarning barchasidan birorta noma'lumni (masalan, x1 ni) yuqotamiz. U holda ushbu sistemaga ega bo'lamiz: a11 x1 +a12 x2 + ....+ a1n xn = b1 a'22 x2 + ....+ a'2n xn = b'2 ................................... (2) a'm2 x2 + ....+ a'mn xn = b'm Tushunarliki (2) sistema (1) ga ekvivalent. Endi (2) sistemadagi 1-tenglamani va qolgan tenglamalardan yana birortasini (masalan 2-tenglamani) yozib olamiz, qolgan barcha tenglamalardan x2 ni yuqotamiz. Shu jarayonni davom ettiramiz. Bunda agar 0=0 ko'rinishdagi tenglama hosil bo'lsa, uni tushirib qoldiramiz. Agarda, 0=b (b0) ko'rinishdagi tenglik hosil bo'lsa,u holda ja-rayenni to'xtatamiz va sistema yechimga ega bo'lmaydi. Shu jarayonni k marta takrorlagandan keyin quyidagi ikki holatdan biri yuz beradi: 1).Oxirgi tenglamada faqat 1 ta noma'lum qatnashib qoladi; 2).Oxirgi tenglamada 1 tadan ortiq noma'lum qatnashadi va ulardan birortasini ham endi yuqotish imkoniyati yuk. 1-holda oxirgi tenglamadan xn ni topib olamiz va uni oxirgidan oldingi tenglamaga qo'yib xn-1 ni topamiz. xn va xn-1 larni topilgan qiymatlarini undan oldingi tenglamaga qo'yib xn-2 ni topamiz va x.k. xn ,xn-1 , ... , x2 larning topilgan qiymatini sistemadagi birinchi tenglamaga qo'yib x1 ni topamiz. Shunday qilib, bu holda berilgan sistema yagona x1 =1, x2 =2, ... ,xn =n yechimga ega. Misol. 1). x1 - x2 + х3 = 2 sistemani Gauss 2x1 + х2-2x3 =-2 usuli bilan 5x1 +2х2-7x3 =-12 yeching. Yüklə 481,78 Kb. Dostları ilə paylaş:
|