21-ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli. Reja

Yechish.
Ikkinchi holda sistemaning oxirgi tenglamasida faqat birta noma'lumni chap tomonda (masalan, x_k ni) qoldirib boshqa noma'lumlarni x _k+1 ,..., x_n larni erkli o'zgaruvchi sifatida kabo'l qilib hosil bo'lgan sistemani 1-holda gi singari yo'l bilan yechib х₁,x₂,...,x_n larni topamiz va bu holda topilgan yechim х_k+1,...,x_n erkli o'zgaruvchi (parametr) larga bog'liq bo'ladi va ularga Ixtiyoriy qiymatlar berib sistemaning cheksiz ko'p yechimini topamiz.

Endi biz sistemani yechilish masalasini baholash va hal qilishning amaliy ravishda topishda eng qulay va hamma tomonlama qo’llanadigan noma’lumlarni ketma-ket yo’qotish usulini yoki Gauss usulini (metodini) keltiramiz.
1) Faraz qilaylik, sistemada bo’lsin. U holda sistemaning birinchi tenglamasini ga ko’paytirib mos ravishda boshqa satrlarga qo’shsak, hosil bo’lgan sistemaning hamma oldidagi koeffisiyentlari nolga aylanadi.
2) Agar bo’lsa, ning koeffisiyentlari orasida noldan farqli bo’lgan tenglamasini izlaymiz va tip elementar almashtirishlar yordamida sistemaning birinchi tenglamasi bilan o’rinlarini almashtirib, yana biz birinchi xolatga kelamiz.
3) Agar oldidagi hamma koeffisiyentlar nollardan iborat bo’lsa, biz birinchi yoki ikkinchi holatlarni noma’lum uchun qo’llaymiz va hokazo.
Natijada biz sistemaga ekvivalent (teng kuchli) bo’lgan va matrisasi zinapoyali shaklda bo’lgan sistemaga kelamiz. Hosil bo’lgan sistemaga qarab, quyidagi xulosalarga kelamiz:
1) Agar sistemaning zinapoyali shaklda chap tomonida nol va o’ng tomonida noldan farqli hadlar qatnashuvchi tenglamalar qatnashsa, bunday sistema birgalikda bo’lmaydi.
2) Agar sistemaning zinapoyali shakli matrisani uchburchakli bo’lgan sistemali
(1)
birinchi holatga kelamiz va
bo’lganligidan, sistema birgalikda bo’lib, aniqdir. Bu holda (1) ning oxirgi

tenglamasidan noma’lum topiladi. Topilgan noma’lumni bitta yuqoridagi tengligiga qo’yib, topiladi va hokazo. Natijada bu hamma larni topamiz. Bular (1) ning va demak unag ekvivalent bo’lgan (2) sistemaning yagona yechimi bo’ladi.

3. Sistemaning zinapoyali shaklida zinapoya uchlarida turuvchi noma’lumlar soni ta bo’lsin. U holda ularni tenglamalarni chap tomoniga qoldirib, qolgan hamma ta noma’lumlarni tenglamalarning o’ng tomoniga o’tkazilib, ozod o’zgaruvchilar sifatida qabul qilamiz. Sistemaning chap tomonida turgan ta noma’lumlar ta tenglamalar sistemasi uchburchakli shakli sistema bo’ladi. Endi tenglamalarni o’ng tomoniga o’tgan noma’lumlar qiymatlar berib, qolgan ta noma’lumlarni 2) holatga asosan topamiz va demak sistema cheksiz ko’p yechimlar ega, ya’ni birgalikda aniqmas.

Agar bizga chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsa, uni uchburchak shaklga kelishi yagona nol yechimga ega ekanligini va agar u zinapoya shaklda bo’lsa, aniqmas bo’ladi, ya’ni cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi. Bundan tashqari qaralayotgan sistemada tenglamalar soni noma’lumlar sonidan kichik bo’lsa, ya’ni , u holda sistemamiz uchburchak shakliga keltirilishi mumkin emas, chunki Gauss metodi bo’yicha o’zgartirish prosessida tenglamalar soni kamayishi mumkin, ammo ortishi mumkin emas va demak sistema zinapoyasimon shaklda keltiriladi, ya’ni aniqmas bo’ladi.
Misollar. Ushbu sistemalarni baholang va yeching:
1.

bu sistemaning kengaytirilgan matrisasini elementar almashtirishlar yordamida o’zgartiramiz:

tenglamaga ega bo’lgan sistemaga keldik va demak berilgan sistema birgalikda emas.
2.

sistemaning kengaytirilgan matrisasini o’zgartiramiz:

sistemaning matrisasi uchburchak shaklga keldi va demak u birgalikda aniq bo’lib, hosil bo’lgan matrisadan berilgan tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo’lgan

tenglamalar sistemasiga o’tsak, undan berilgan tenglamalar sistemasiga teng kuchli

tenglamalar sistemasiga o’tib, pastdan yuqoriga qarab harakat qilib, yagona yechimlarini topamiz.
3.

sistemaning kengaytirilgan matrisasini qaraymiz:

sistemaning matrisasining shakli zinapoyasimon (trapesiyasimon) shaklga keladi va demak u birgalikda, aniqmasdir. noma’lumlar oldidagi 1, 5, tasi uchburchak shaklni beradi va demak ta noma’lumlari o’ng tomonga o’tkazib ozod o’zgaruvchilar sifatida qabul qilamiz, ya’ni ixtiyoriy qiymatlar beramiz va sistemani yechamiz:

va buni yuqoridagi tenglamaga olib borib qo’ysak

hosil bo’ladi. Shunday qilib,

lar berilgan tenglamalar sistemasi yechimlarining umumiy ko’rinishi bo’ladi. Bu formulada va larga ixtiyoriy qiymatlar bersak, biz , larni topamiz. Masalan, qiymatlar bersak, topilib, lar berilgan sistemani xususiy yechimi bo’ladi.

Misоl. chiziqli tеnglаmаlаr sistеmаsini Gаuss usulidа yеchаmiz. Buning uchun chiziqli tеnglаmаlаr sistеmаsini elеmеntаr аlmаshtirishlаr yordаmidа tаnlаb оlingаn tеnglаmаsidаn bоshqа tеnglаmаlаridа birоr bir o’zgаruvchi оldidаgi kоeffisiеntni nоlgа аylаntirаmiz:
.
Hоsil bo’lgаn tеnglаmаlаr sistеmаsi bеrilgаn tеnglаmаlаr sistеmаsigа tеng kuchli bo’lib, uning yеchimi vеktоrdаn ibоrаt.