22-Ma’ruza. Kombinatorikaning umumiy tushunchalari, usullari va qoidalari. Asosiy kombinasiyalar reja

3. Gruppalashlar. to‘plam berilgan bo‘lsin. Bu elementli to‘plamning elementlaridan ta elemetga ega qism to‘plamlarni shunday tashkil etamizki, ular bir-biridan elementlarining joylashish tartibi bilan emas, faqat tarkibi bilan farq qilsinlar. Bunday ta elementli qism to‘plamlarning har biriga ta elementdan tadan gruppalash deb ataladi.
ta elementdan tadan gruppalashlar sonini bilan belgilaymiz¹².
Gruppalashlar sonini yoki shaklda belgilashlar ham uchraydi. Gruppalash ta’rifidan ekanligi va agar biror gruppalashda qandaydir usul bilan elementlar o‘rinlari almashtirilsa, u (gruppalash sifatida) o‘zgarmasligi kelib chiqadi. Bu yerda qaralaytgan gruppalash tarkibida elementlarning takrorlanmasligini eslatib o‘tamiz. Shu sababli bunday gruppalashni betakror (takrorli emas) gruppalash deb ham atash mumkin. Ushbu bobning 4-paragrafida takrorli gruppalashlar o‘rganiladi.
Bir ( ) elementli to‘plam uchun faqat bitta gruppalash mavjud, u ham bo‘lsa bir ( ) elementlidir: . Demak, .
Ikki ( ) elementli to‘plam uchun bittadan ( ) gruppalashlar ikkita ( va ), ikkitadan ( ) gruppalashlar esa faqat bitta ( ). Demak, , .
Uch ( ) elementli to‘plam uchun gruppalashlar: bittadan ( ) – , va (uchta); ikkitadan ( ) – , , (uchta); uchtadan ( ) – (faqat bitta). Demak, , , .
To‘rtta ( ) elementdan tashkil topgan to‘plam elementlaridan tuzilgan gruppalashlar: bittadan – , , va (to‘rtta); ikkitadan – , , , , , (oltita); uchtadan – , , , (to‘rtta); to‘rttadan (faqat bitta). Demak, , , , .
Yuqoridagi mulsohazalar gruppalashlar sonini hisoblash formulasi qanday bo‘lishiga to‘liq oydinlik kiritmasada, dastlabki tahlil uchun muhimdir. Masalan, ta elementdan barcha elementlarni o‘z ichiga oladigan faqat bitta gruppalash tashkil etish mumkin degan yoki ta elementdan bittadan ta gruppalash bor degan xulosalar ustida o‘ylab ko‘rish mumkin.
sonni hisoblash uchun formula topish maqsadida quyidagicha mulohaza yuritamiz. Ravshanki, agar ta elementdan tadan barcha gruppalashlarning har birida elementlarning o‘rinlari imkoniyat boricha almashtirilsa, natijada ta elementdan tadan barcha o‘rinlashtirishlar hosil bo‘ladi. Bu yerda ta elementdan tadan tuzilgan ta gruppalashning har biridagi ta elementdan ta o‘rin almashtirishlar hosil qilish mumkin bo‘lganligi tufayli, ko‘paytirish qoidasiga asosan, tenglik to‘g‘ridir. Demak,

formula o‘rinlidir. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi.