1-teorema.Elementlari soni ta bo‘lgan to‘plam uchun o‘rin almashtirishlar soni ga teng, ya’ni . Isboti. Teoremani isbotlash uchun matematik induksiya usulidan foydalanamiz. Asos to‘g‘riligini, ya’ni teoremaning tasdig‘i uchun to‘g‘riligini yuqorida ko‘rdik. Induksion o‘tish uchun teoremaning tasdig‘i biror natural uchun to‘g‘ri bo‘lsin deb faraz qilamiz, ya’ni bo‘lsin. Ravshanki, ta elementli to‘plamni ta elementli to‘plamga yangi -elementni kiritish yordamida hosil qilish mumkin. Bu -elementni elementli to‘plam uchun barcha ta o‘rin almashtirishlarning har biriga quyidagicha xil usul bilan kiritish mumkin:
1-elementdan oldin,
1-va 2-elementlar orasiga,
2-va 3-elementlar orasiga,
................................................
-va -elementlar orasiga,
-elementdan keyin.
Shunday qilib, ko‘paytirish qoidasiga binoan, ta elementli to‘plam uchun jami ta o‘rin almashtirishlar hosil bo‘ladi, ya’ni .
1-misol. Besh nafar tomoshabinlarning beshta o‘rinni egallash imkoniyatlari (variantlari) sonini toping.
Agar tomoshabinlarni harflar bilan belgilasak, u holda tomoshabinlar to‘plamiga ega bo‘lamiz. Tomoshabinlarni o‘rinlarga joylashtirish imkoniyatlarining (variantlarining) har biriga tomoshabinlar to‘plami elementlarining qandaydir o‘rin almashtirishi mos keladi. to‘plam beshta elementli bo‘lgani uchun, 1-teoremaga asosan, bo‘ladi. Demak, besh nafar tomoshabinning beshta o‘rinni egallash imkoniyatlari soni 120ga teng.
2-misol. Shaxmat bo‘yicha musobaqada har birining tarkibida to‘rt nafar o‘yinchi bo‘lgan ikkita komanda ishtirok etmoqda. Har bir komanda rahbariga to‘rtta shaxmat taxtasida o‘yinlar o‘tkazish uchun o‘yinchilarni ixtiyoriy ravishda tartiblash imkoniyati berilgan. Musobaqa qatnashchilarining shaxmat taxtalarini egallash imkoniyatlari (variantlari) sonini toping.
Har bir komanda a’zolari uchun shaxmat taxtalarini egallash imkoniyatlarini formula yordamida hisoblash mumkin: . Komandalardagi o‘yinchilarni ixtiyoriy ravishda tartiblash mumkin bo‘lganligidan, ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra, musobaqa qatnashchilarining shaxmat taxtalarini egallash imkoniyatlari (variantlari) soni bo‘ladi.
