28-Mavzu: to’G’rilanuvchi yoy uzunligi. Yoy uzunligini hisoblash. Yoy uzunligini deferensiali reja

Parametrik ko‘rinishda berilgan yoy uzunligini hisoblash.
Egri chiziq tenglamasi parametrik ko‘rinishda berilgan bo‘lsin:


bu yerda x(t), y(t) – uzluksiz hosilaga ega va da .
(3) formuladan foydalanish uchun avval o‘zgaruvchini almashtiramiz. . U holda

yoki

. (4)
Misol. sikloida arkasi uzunligini hisoblang.

Yechish.

Qutb koordinatalar sistemasida yoy uzunligi. Egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida , tenglama bilan berilgan bo‘lsin. va larni da uzluksiz deb faraz qilamiz. Bu chiziqni parametrik ko‘rinishda yozamiz:

x va y dan bo‘yicha hosilalarni hisoblaymiz:

Demak,

(5)

Misol. kardioida uzunligini hisoblang.

Yechish. Burchak 0 dan  gacha o‘zgarganda izlanayotgan yoyning yarimini hosil qilamiz. (5) dan foydalanamiz:

.
U holda

.
Yoy differensiali. Yoy uzunligi formula bilan aniqlanar edi, bu yerda y=f(x) funksiya [a;b] da aniqlangan va uzluksiz hosilaga ega. Ushbu formulada integrallashning quyi chegarasi o‘zgarmas, yuqori chegarasi esa o‘zgaruvchi deb faraz qilaylik. Yuqori chegarani x bilan integrallash o‘zgaruvchisini t bilan belgilaylik. Bu holda yoy uzunligi yuqori chegaraning funksiyasi bo‘ladi:

Yuqori chegarasi o‘zgaruvchi bo‘lgan aniq integralning hosilasi haqidagi teoremaga ko‘ra s(x) funksiya differensiallanuvchi, uning hosilasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.
Bundan yoy differensiali uchun quyidagi formulani hosil qilamiz:
.
Demak, yoy differensiali yordamida yoy uzunligini hisoblash uchun ushbu formulani hosil qilishimiz mumkin.
Agar ekanligini e’tiborga olsak,
,
ya’ni

(Pifagor teoremasining analogi) hosil bo‘ladi.

http://fayllar.org