3- §. To‘plamlar algebrasi

8- teorema. universal to‘plamning ixtiyoriy va qism to‘plamlari uchun tenglik o‘rinlidir.
I
sboti. va to‘plamlar universal to‘plamning ixtiyoriy qism to‘plamlari bo‘lsin. Teoremani isbotlashda 1- shakldan foydalanamiz. Shaklda universal to‘plam to‘g‘ri to‘rtburchak ko‘rinishda, va to‘plamlar esa doiralar sifatida tasvirlangan. 1-a shakldagi to‘plamning bo‘yalmagan qismi to‘plamga, bo‘yalgan qismi esa to‘plamga mos keladi.
to‘plamning ixtiyoriy elementini bilan belgilaymiz. To‘ldiruvchi to‘plamning ta’rifiga ko‘ra, va , ya’ni to‘plamning elementi, bir vaqtning o‘zida, ham to‘plamning, ham to‘plamning elementi bo‘la olmaydi. Bu yerda uchta hol bor:
1) (1-b shaklga qarang);
2) (1-d shaklga qarang);
3) va (1-e shaklga qarang).
1) holda , 2) holda , 3) holda esa va bo‘lishini topamiz. Shuning uchun birlashmaning ta’rifiga ko‘ra bo‘ladi.
Endi to‘plamning ixtiyoriy elementi bo‘lsin. Bu holda yoki . Bu natijadan yoki bo‘lishi kelib chiqadi. Shuning uchun va . Demak, . ■
9- teorema. universal to‘plamning ixtiyoriy va qism to‘plamlari uchun tenglik o‘rinlidir.
Isboti. va to‘plamlar universal to‘plamning ixtiyoriy qism to‘plamlari bo‘lsin. to‘plamning ixtiyoriy elementini bilan belgilaymiz. element 1-e shaklda to‘g‘ri to‘rtburchakning bo‘yalgan qismida yotadi. munosabatdan va bo‘lishi kelib chiqadi. munosabat va birlashmaning ta’rifiga asosan, element to‘plamga ham (1-b shaklga qarang), to‘plamga ham (1-d shaklga qarang) tegishli emas, ya’ni , va . Bu yerdan va munosabatlar o‘rinliligini topamiz. Shunday qilib, kesishmaning ta’rifiga asosan, .
Endi to‘plamning ixtiyoriy elementi bo‘lsin. Bu holda, kesishmaning ta’rifiga binoan, va bo‘ladi. Bu yerdan, to‘ldiruvchi to‘plamning ta’rifiga ko‘ra, va bo‘lishini topamiz. Demak, qaralayotgan element bir vaqtning o‘zida to‘plamga ham, to‘plamga ham tegishli emas. Shuning uchun, birlashmaning ta’rifiga ko‘ra, bo‘ladi. Shunday qilib, to‘ldiruvchi to‘plamning ta’rifiga asosan, . ■
Yuqorida isbotlangan 8- va 9- teoremalardagi va tengliklar de Morgan⁸ qonunlari deb ataladi.